Математика Решение типового варианта контрольной работы

Задача. Вычислить определитель
Решить систему методом Гаусса, матричным способом и используя правило Крамера.
Решим систему методом Крамера. Главный определитель системы
Выполнить действия:
Исследовать систему уравнений и найти общее решение в зависимости от значения параметра а.
Использование систем линейных уравнений при решении экономических задач Рассмотрим формулу простых процентов

Векторная алгебра

Коллинеарны ли векторы и , разложенные по векторам и , где
Для нахождения длины вектора воспользуемся формулой:, для этого найдем проекции векторов на оси координат, так же найдем сумму векторов по правилу сложения векторов, заданных проекциями на оси координат Направление вектора определяется углами , образованными им с осями координат Косинусы этих углов (направляющие косинусы вектора) определяются по формулам Векторное произведение векторов

Аналитическая геометрия

Даны три последовательные вершины параллелограмма А(2;-3), В(5;1),С(3;-4). Составим уравнение прямой AD. Составим уравнение высоты , проведенной из вершины на сторону как уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно прямой . Найдем уравнение диагонали как уравнение прямой, проходящей через точки и , где - середина отрезка . Найдем тангенс угла между диагоналями и .
Составить канонические уравнения прямой , проходящей через точку параллельно прямой :
Найти угол между прямой : и плоскостью : ..
Составить канонические уравнения прямой , проходящей через точку перпендикулярно плоскости :
К кривым второго порядка относятся эллипс, гипербола, парабола. Приведем рисунки и канонические уравнения этих кривых.
Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду и построить кривую. Решение. Для приведения уравнения кривой второго порядка к каноническому виду применяют метод выделения полного квадрата.
Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду и построить кривую.
Кривая задана в полярной системе координат уравнением .

Введение в математический анализ.

Вычислить пределы функций. Найти
Функция задается различными аналитическими выражениями для различных областей независимой переменной.

Производная и дифференциал

Найти производные заданных функций
Составить уравнения касательной и нормали к кривой в точке с абсциссой .
Найти общий интеграл дифференциального уравнения
Указать вид частного решения дифференциального уравнения
С помощью дифференциала приближенно вычислить величину и оценить допущенную погрешность.

Исследование функций.

Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке Решение. Функция достигает наибольшего и наименьшего значения либо в критических точках, принадлежащих заданному отрезку, либо на концах этого отрезка. Найдем критические точки (т.е. точки в которых производная равна нулю или не существует)
Исследовать функцию и построить ее график.
Найдем точки пересечения графика функции с осями координат
Найдем точки экстремума функции и промежутки монотонности
Найдем точки перегиба и промежутки выпуклости и вогнутости функции
Построим график функции, используя результаты исследования

Интегральное исчисление функции одной переменной

Таблица основных интегралов. Вычислить интеграл
Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: и ; В зависимости от способа задания уравнения кривой существуют следующие формулы нахождения длины дуги кривой. Пусть функция непрерывна на отрезке . Тогда объём тела, полученного вращением вокруг оси криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции , снизу , определяется формулой:
Методы интегрирования замены переменной и интегрирование по частям Метод интегрирования подстановкой (заменой переменной)
Использование понятия неопределенного интеграла в экономике
Геометрические приложения определенного интеграла
Задача . Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями.
Пластинка задана ограничивающими ее кривыми, -поверхностная плотность. Найти массу пластинки.
Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями.
Задачи. Найти объем тела, заданного неравенствами.
Признак сравнения в предельной форме
Примеры исследования интегралов на абсолютную сходимость Докажем, что для исходного интеграла абсолютной сходимости нет, т.е. что расходится.

Интегральное исчисление функции нескольких переменной.

Геометрические свойства интеграла ФНП
Вычисление площади плоской фигуры Площадь фигуры в декартовых координатах Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями и . Площадь плоской фигуры в полярных координатах
Вычисление объема тела Вычислить объем цилиндрического тела, расположенного между плоскостями и и ограниченного поверхностью и плоскостью .
Механические приложения Пластина имеет форму прямоугольника со сторонами длиной и . Найти массу этой пластины, если ее плотность распределения массы в произвольной точке равна квадрату расстояния от точки до одной из вершин пластины.
Вычисление площади криволинейной поверхности ПРИМЕР. Вычислить площадь частей сферы , лежащих внутри цилиндра .

Кратные и криволинейные интегралы.

Задача Записать двойной интеграл в виде повторного и изменить порядок интегрирования, если область интегрирования . Решение. Область интегрирования D является правильной (простой) в направлении оси ОУ, т.к. любая прямая, параллельная оси ОУ, пересекает границу области D не более чем двух точках. Первую точку пересечения с линией у=х2 назовем точкой входа, а линию - линией входа, ее уравнение у=х2. Вторую точку пересечения с линией у=2-х назовем точкой выхода, а линию – линией выхода.
Вычислить двойной интеграл по области , ограниченной графиками данных функций
Вычислить интеграл, перейдя от прямоугольных координат к полярным: .
Вычислить объем тела, ограниченного заданными поверхностями:
Вычислить криволинейный интеграл 1-го рода: где Решение. Вычисление криволинейного интеграла 1-го рода может быть сведено к вычислению определенного интеграла, причем способ такого сведения зависит от представления кривой интегрирования L
Вычислить площадь части сферы , вырезанной цилиндром и плоскостью
Найти координаты центра тяжести плоской однородной пластины D, ограниченной линиями
Найти величину и направление наибольшего изменения поля в точке
Найти момент инерции однородной круглой пластинки (x – a)2 + (y – b)2 < 4b2 относительно начала координат.
Найти массу пластинки D плотности γ = ух3, если
Найти центр тяжести однородной пластины D, ограниченной кривыми у2 = ах и
Найти объем тела V, ограниченного поверхностями
Вычислить с помощью тройного интеграла объём тела, ограниченного поверхностями z=0, z=4-y2, x2=2y.

Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Задание. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям .
Найти общее решение дифференциальных уравнений .
Вычислить . Решение. Начинаем вновь с проверки не разделятся ли переменные интегрирования. Убеждаемся, что это не так, и, кроме того, однородным оно тоже не является. Это линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка, так как имеет структуру вида: . Будем решать его с помощью стандартной в этом случае, замены: .
Найти общее решение системы дифференциальных уравнений. Решение. Сведем предложенную систему к одному дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами второго порядка. Для этого продифференцируем первое уравнение системы по t:
Записать уравнение кривой, проходящей через точку, для которой треугольник, образованный осью Оу, касательной к кривой в произвольной её точке и радиус-вектором точки касания, равнобедренный (причем основанием его служит отрезок касательной от точки касания до оси Оу).
Найти общее решение дифференциального уравнения . Решение. Так как производная в данном случае является функцией, зависящей только от переменной x, то его решение может быть получено в результате последовательного интегрирования: .
Решить уравнение . Решение. Правая часть уравнения представляет собой дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Выпишем общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка .
Вычислить длины дуг кривых, заданных уравнениями в прямоугольной системе координат.
Вычислить объемы тел, образованных вращением фигур, ось вращения .
Вычислить длины дуг кривых, заданных параметрическими уравнениями
Вычислить площади фигур, ограниченных графиками функций.
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
Вычислить объемы тел, образованных вращением фигур, ограниченных графиками функций, относительно оси вращения
Вычислить площади фигур, ограниченных линиями, заданными уравнениями в полярных координатах.
Длина кривой. Если подынтегральная функция f(x, y, z) ≡ 1, то из определения криволинейного интеграла 1-го рода получаем, что в этом случае он равен длине кривой, по которой ведется интегрирование:
Вычислить работу векторного поля вдоль отрезка прямой от точки А(-2;-3;1) до точки В(1;4;2).
Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями у=11 – х2; у= - 10х
Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями: у2-4у+х2=0; у2-8у+х2=0; ; Указание. В этой задаче двойной интеграл удобнее вычислять в полярной системе координат.
Пластина D задана ограничивающими ее кривыми M--поверхностная плотность. Найти массу пластины.
Найти объем тела W, заданного ограничивающими его поверхностями
Давление на пластинку, погруженную вертикально в жидкость Для вычисления силы давления жидкости используют закон Паскаля, согласно которому сила давления жидкости на пластинку площади с глубиной погружения равна , где - плотность жидкости, - ускорение свободного падения.
Найти силу давления , испытываемую полукругом радиуса , погруженным вертикально в воду так, что его диаметр совпадает с поверхностью воды Найти момент инерции однородной пластинки, имеющей форму треугольника с основанием и высотой , относительно его основания. Будет предполагать пластинку однородной, так что её поверхностная плотность равна (т.е. масса, приходящаяся на единицу площади) будет постоянной и, следовательно, , где - площадь пластинки.
Найти статический момент однородной пластинки, имеющей форму полукруга радиуса и плотность , относительно основания полукруга.
Найти объем тела W, заданного ограничивающими его поверхностями: х2+у2+2х=0; z=25/4 –y2; z=0.

Ряды.

Исследовать на сходимость числовые ряды: Так как в записи общего члена ряда есть факториал (), то используем признак Даламбера Составим ряд, эквивалентный исходному, оставив в числителе и знаменателе лишь старшие степени n:
Найти область сходимости ряда . Вычислить с точностью интеграл .
Найти три первые (отличные от 0) члена разложения в степенной ряд решения задачи Коши .
Разложить данную функцию в ряд Фурье Вычислим значения интегралов-слагаемых по отдельности Продолжим функцию на отрезок нечетным образом
Найти область сходимости функционального ряда
К понятию поверхностного интеграла 2-го рода приводит физическая задача о вычислении потока жидкости через некоторую поверхность S.
Вычислить поверхностный интеграл 2-го рода по внешней боковой стороне цилиндра , лежащей в первом октанте и ограниченной плоскостями х = 0,5, х = 1, у =0,5, причём 0,5 < х < 1, у > 0,5.
Вычислить интеграл по верхней стороне полусферы
Найти формулу вычисления объема шара. В поперечных сечениях шара (сечения параллельны плоскости XOY) получаются окружности.

Теория вероятностей, математическая статистика и случайные процессы.

Задача. Бросается 4 монеты. Какова вероятность того, что три раза выпадет «решка»?
Дан ряд распределения дискретной случайной величины Y. Определить значение x и вычислить математическое ожидание дискретной случайной величины Y.
Задана матрица вероятностей перехода для цепи Маркова за один шаг. Найти матрицу перехода данной цепи за три шага.
Задача. В вычислительный центр коллективного пользования с тремя компьютерами поступают заказы от предприятий на вычислительные работы. Если заняты все три компьютера, то вновь поступающий заказ не принимается и предприятие вынуждено обратиться в другой вычислительный центр. Среднее время работы с одним заказом составляет 3 часа. Интенсивность потока заявок 0.25 (з/час). Найти предельные вероятности состояний и показатели эффективности работы вычислительного центра.
Рассмотрим задачу о непрерывном начислении процентов.

Теория поля Если в каждой точке М определенной пространственной области задано значение некоторой скалярной или векторной величины, то говорят, что задано поле этой величины (соответственно скалярное или векторное).

Найти поток векторного поля через часть плоскости ограниченную координатными плоскостями (нормаль к плоскости образует острый угол с осью Oz).
Найти дивергенцию и ротор векторного поля где
Проверить, является ли векторное поле потенциальным, и в случае положительного ответа найти потенциал и, считая, что в начале координат он равен нулю.