Типовые задачи

Вычислить момент инерции относительно плоскости  дуги  , если плотность распределения массы в каждой точке дуги пропорциональна произведению
ординаты и апликаты, а при   равно 1.

Решение. Момент инерции , где  или на дуге , причем

, т.е. .

Итак, . Поэтому

.

Вычисление двойных интегралов базируется на понятии повторного интеграла.

Пусть  рассматривается на плоской области  и она правильная в направлении оси , т.е. всякая прямая, параллельная оси , пересекает границу области  не более чем в двух точках. Тогда область   удобно спроектировать на ось . Пусть проекция  на  есть .

Если   – уравнение нижней границы, а   – уравнение верхней границы, то любому  области  принадлежат те точки  вертикального отрезка, которые удовлетворяют
неравенствам

 (*)

Выражение вида  называется повторным
интегралом от функции   по области . Он вычисляется
следующим образом:

сначала находится внутренний интеграл ( – переменная интегрирования,  – фиксированная), а затем полученную функцию аргумента  интегрируем на .

Значение повторного интеграла – число.