Предел, непрерывность ФНП

ПРИМЕР. Иногда удобно использовать переход от переменных  и  к полярным координатам. В частности, условие  (одновременно и независимо друг от друга) преобразуется в условие  при всяком  (независимо от ; сразу для всех ).

Показать, что .

Решение. Перейдем к полярным координатам ,  и тогда  

(независимо от ).

ПРИМЕР 4. Найти повторные пределы функции  при . Существует ли предел этой функции по совокупности переменных?

Решение. Повторные пределы ,  существуют и равны, но предел функции по совокупности переменных не существует, так как при приближении к , например по прямым , предел функции имеет различные значения .

ПРИМЕР 5. Показать, что для  при  существует предел по совокупности переменных, но не существуют повторные пределы.

Решение. Для  и  имеем

.

При  и  . Повторный предел

  не существует,

т.к. не существует предел функции  при .

Аналогично: другой повторный предел не существует.