Симметричная форма записи СДУ

СДУ в нормальной форме  может быть представлена в виде , симметричном относительно переменных. Так, например, симметричная форма записи СДУ

используется для описания векторных линий  векторного
поля   – вектор-функции точки пространства переменных , , .

Решение СДУ в симметричной форме иногда может быть проведено методом интегрируемых комбинаций на основе свойств равных отношений: если , то для любых чисел (не равных нулю одновременно)  имеет место соотношение

.

ПРИМЕР 7. Решить СДУ .

Решение. Здесь записана в симметричной форме автономная СДУ третьего порядка   Переменные , ,  в записи равноценны (симметричны) в том смысле, что для нахождения первых интегралов исходной СДУ придется решать два дифференциальных уравнения относительно , ,  и при этом безразлично, какую переменную из них удобней взять в качестве аргумента.

Используя свойство равных отношений, можно записать

, то возможно лишь при , т.е.  – найден первый интеграл СДУ. Понизим порядок СДУ, полагая ,  или  – ДУ первого порядка. Проведем замену переменной  и соответственно , получим  или . Отсюда  – еще один первый интеграл СДУ.
Линейная независимость первых интегралов проверяется

в области существования уравнений системы.