Предел, непрерывность ФНП

ПРИМЕР 8. Показать, что функция   непрерывна в точке  по каждой координате  и , но не является непрерывной в точке  по совокупности переменных.

Решение. При  имеем

и ,

аналогично при  .

Поскольку  – зависит от , т.е.
не существует, то по совокупности переменных  не является непрерывной в точке .

Для ФНП   – непрерывной в точке  имеем:

ограниченность функции в некоторой окрестности точки;

сохранность знака функции в некоторой окрестности точки , если ;

выполнимость теоремы "об арифметике функций", непрерывных в одной и той же точке;

непрерывность сложной ФНП  в точке , если , где , непрерывна в точке , и  непрерывна в точке .

Функция   непрерывна на множестве , если она непрерывна в каждой точке этого множества. Свойства ФНП, непрерывной на ограниченном связном замкнутом множестве, формулируются аналогично соответствующим свойствам ФОП, непрерывной на замкнутом отрезке.

Понятие точки разрыва ФНП  вводится как отрицание понятия "непрерывность в точке  функции ".

ПРИМЕР 9. Для  точка  не является точкой непрерывности функции, т.е. является точкой
разрыва функции, причем   и функция не является ограниченной в окрестности точки .

ПРИМЕР 10. Для функции  всякая
точка на оси   или на оси  является точкой разрыва, причем в окрестности такой точки  ограничена.

Классификация точек разрыва функции двух и более аргументов не проводится. Поведение ФНП в окрестности точки определяется предельным поведением функции   при приближении  к
предельной точке .

ЗАДАНИЕ для САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Изучить покоординатную непрерывность и непрерывность по
совокупности переменных для функции 

  в точке .

Изучить поведение функции ,  в окрестности точек ,  и .

Вычислить пределы:

а)   и б) .

Ответы. 1. В точке  функция является непрерывной по  и
непрерывной по , но не является непрерывной по совокупности переменных.

2. Точка   – точка разрыва функции  и в окрестности точки функция неограничена; в точке  функция непрерывная (по совокупности переменных); всякая точка прямой  является точкой разрыва функции и  неограничена в окрестности такой точки, в том числе и для точки .

3. а) ; применяем теорему о произведении бесконечно
малой функции на ограниченную функцию;

 б) ; применяем второй замечательный предел.