Интеграл Типовые задачи

Методика решения задач физика
Кинематика
Механика жидкостей и газов
Электростатика
Оптика
Динамика
Сборник задач по физике
Постояный ток
Классическая физика
законы Ньютона
Разьемные и неразьемные
соединения
Машиностроительное черчение
Инженерная графика
Штриховка разрезов
Спецификация
Неметаллические материалы
Техника вычерчивания и обводка
Построение лекальных кривых
Виды и комплектность документов
Основная надпись
Этапы развития натюрморта
в русском исскустве
Сопряжение
Последовательность выполнения
сборочного чертежа
Форматы
Последовательность нанесения
размеров
Эскиз детали. Тpебования к эскизу
Проецируещие прямые
Позиционные задачи
Сопромат
Задачи по сопротивлению материалов
Лабораторные работы по сопромату
Математика
Вычисление криволинейного интеграла 2 рода
Решение дифференциальных уравнений
Пример решения расчетного задания
Вычисление двойного интеграла

Производная по направлению.

Числовые ряды
Функции комплексной переменной
Операционное исчисление
Ряды и интеграл Фурье
Типовой расчет
Вычислить производную
Вычислить интегралы
Вычисление площади
поверхности
Механические приложения
двойного интеграла
Скалярное и векторное поле
Соленоидальное поле
Исследовать систему уравнений
Дифференциальные уравнения
Предел последовательности
Методы интегрирования
Теория поля
Контрольная работа по
теме интегралы
Геометрические и физические
приложения кратных интегралов
Элементы теории множеств
Дифференцируемость ФНП
Интеграл Типовые задачи
Поверхностный интеграл
первого рода
 
Энергетика
История искусства
История дизайна
Искусство Шумера
Древнееврейская культура
Культура Античного мира
Техника живописи

Теорема необходимое условие существования определенного интеграла

Некоторые свойства интеграла ФНП

Геометрические свойства интеграла ФНП Возможное геометрическое представление интегральной суммы  функции  на , а затем и интеграла  определяют геометрические свойства интеграла и перечень некоторых возможных задач, решаемых с помощью интеграла.

Площадь части криволинейной поверхности  считается с помощью поверхностного интеграла

Некоторые механические приложения интеграла ФНП Масса фигуры (отрезка, дуги, плоской фигуры, части криволинейной поверхности, тела)

Вычисление интеграла  рассмотрим подробно в зависимости от  и .

Для подынтегральной функции  определенный интеграл с переменным верхним пределом определяет
первообразную на .

Типовые задачи Вычисление  проводится по формуле Ньютона – Лейбница, если известна какая-либо первообразная подынтегральной функции. Если для вычисления первообразной применяется "интегрирование по частям", то эту операцию можно проводить сразу и для определенного интеграла: .

Вычислить интеграл .

Вычисление площади плоской фигуры Площадь фигуры в декартовых координатах Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями  и .

Площадь плоской фигуры в полярных координатах

Вычисление объема тела

Вычислить объем цилиндрического тела, расположенного между плоскостями   и  и ограниченного поверхностью  и плоскостью .

Механические приложения Пластина имеет форму прямоугольника со сторонами длиной   и . Найти массу этой пластины, если ее плотность распределения массы в произвольной точке равна квадрату расстояния от точки до одной из вершин пластины.

Вычисление площади криволинейной поверхности ПРИМЕР. Вычислить площадь частей сферы , лежащих внутри цилиндра .

Вычислить интеграл , где  – призма, ограниченная координатными плоскостями , ,  и плоскостью .

Вычислить интеграл , где   – шаровое кольцо .

Вычислить объем тела, ограниченного эллипсоидом .

Вычисление криволинейных интегралов I рода Вычислить интеграл , если  , , .

Длина дуги в декартовых координатах Вычислить длину одного витка винтовой линии , , .

Механические приложения Вычислить массу дуги   

Вычислить момент инерции относительно плоскости  дуги  , если плотность распределения массы в каждой точке дуги пропорциональна произведению

Вычислить повторный интеграл , восстановив область .

Вычислить повторный интеграл .

 

Линейным дифференциальным уравнением (ЛДУ) называется уравнение вида,

Решить ДУ .

Пространство  имеет размерность , его "базис" состоит из  линейно независимых элементов из .

Теорема о необходимом условии линейной зависимости произвольной системы функций

Поскольку понятия линейной зависимости и независимости системы решений ОЛДУ   отрицают друг друга, то теперь можно сформулировать критерий линейной независимости системы решений ,  ОЛДУ.

Найти ФСР ОЛДУ  . Записать общее решение. По НУ:   выделить частное решение.

Итак, для нахождения общего решения НЛДУ нужно

Решить 

СДУ имеет нормальную форму записи, если удается записать ее уравнения в виде, разрешенном относительно первых производных неизвестных функций

Геометрическая интерпритация СДУ в нормальной форме и ее решений

Пространство переменных  СДУ в нормальной форме называется фазовым пространством системы. Его структура может быть различной

 Задача КОШИ для СДУ в нормальной форме При рассмотрении прикладной задачи, требующей решения СДУ, как правило, интересует единственное решение. Поэтому нужно уметь выделять из бесконечного множества решений СДУ требуемое решение.

Является ли двухпараметрическое семейство функций ,  общим решением СДУ

 Сведение СДУ к одному ДУ

Свести СДУ  к одному ДУ. Решить ДУ. Записать СДУ и решение СДУ в векторной и векторно-матричной формах.

Метод интегрируемых комбинаций  – СДУ второго порядка сводится к ДУ , откуда   и из первого уравнения , т.е.  – общее решение СДУ.

СДУ в нормальной форме  может быть представлена в виде , симметричном относительно переменных. Так, например, симметричная форма записи СДУ

Достаточные условия существования единственного решения задачи Коши для СДУ вида

Свойства решений СОЛДУ

Рассмотрим вектор-функции  и . При каждом   и  линейно зависимы, но ни одна из этих вектор-функций не получается из другой умножением на число, т.е. на  эти функции линейно независимые.

Теорема о структуре общего решения СОЛДУ

Некоторые свойства матриц ФСР СОЛДУ

Общее решение СОЛДУ  запишется , где  – произвольный вектор, . При этом задача Коши  имеет единственное решение , поскольку из соотношения  имеем .

Пример Решить СДУ 

Метод Эйлера

Решить СОЛДУ .

Решить СОЛДУ .

Трехфазные электрические цепи http://nvkurs.ru/ Решение дифференциального уравнения