ћатематика задачи ќперационное исчисление

ћетодика решени€ задач физика ћашиностроительное черчение ћатематика »стори€ искусства –°–µ–Ї—Б—Г–∞–ї—М–љ—Л–µ –і–µ—И–µ–≤—Л–µ –њ—Г—В–∞–љ—Л –•–∞–љ—В—Л-–Ь–∞–љ—Б–Є–є—Б–Ї–∞ –љ–∞ hanty-mansijsk.intim-place2.com/ | http://geishi-irkutska.com/ - –ї–∞—Б–Ї–Њ–≤—Л–µ –Є–љ–і–Є–≤–Є–і—Г–∞–ї–Ї–Є –њ—А–Њ—Б—В–Є—В—Г—В–Ї–Є –Ш—А–Ї—Г—В—Б–Ї–∞

¬ основе операционного исчислени€ лежит преобразование Ћапласа ћножество функций-оригиналов отображаетс€ в множестве функций-изображений, при этом операции над оригиналами переход€т в некоторые операции над изображени€ми. ¬ частности, операции дифференцировани€ и интегрировани€ оригиналов переход€т в действи€ соответственно умножени€ и делени€ во множестве изображений. ѕоэтому линейное дифференциальное уравнение в множестве оригиналов преобразуетс€ в алгебраическое уравнение в множестве изображений. –ешив полученное алгебраическое уравнение, находим прообраз его решени€ в множестве оригиналов, затем восстанавливаем решение исходного дифференциального уравнени€. ѕростейшие свойства преобразовани€ Ћапласа

»нтегрирование оригинала

ƒифференцирование оригинала

»нтегрирование изображени€

“еорема о сдвиге аргументов оригинала и изображени€ “еорема о запаздывании оригинала Ќайти изображение функции, представленной графиком

»зображение периодического сигнала

≈сли †есть Цпериодическа€ функци€, то †Ц периодический оригинал. √рафик его есть график функции, построенный на †и периодически продолженный на . ѕредставим изображение периодического оригинала в виде

.

ќсновные свойства преобразовани€ Ћапласа

ѕример. Ќайти оригинал дл€ изображени€ .

ѕример. ¬осстановить оригинал по изображению

ќбращение преобразовани€ Ћапласа «адача восстановлени€ оригинала по известному изображению в общем случае сводитс€ к необходимости рассмотреть обратное преобразование Ћапласа. ¬опрос о единственности, достаточные услови€ существовани€, формулы дл€ нахождени€ обратного преобразовани€ Ћапласа излагаютс€ подробно, например, в [2]. ”кажем основные теоремы этой теории. –°–µ–Ї—Б—Г–∞–ї—М–љ—Л–µ –і–µ—И–µ–≤—Л–µ –њ—Г—В–∞–љ—Л –•–∞–љ—В—Л-–Ь–∞–љ—Б–Є–є—Б–Ї–∞ –љ–∞ hanty-mansijsk.intim-place2.com/ | http://geishi-irkutska.com/ - –ї–∞—Б–Ї–Њ–≤—Л–µ –Є–љ–і–Є–≤–Є–і—Г–∞–ї–Ї–Є –њ—А–Њ—Б—В–Є—В—Г—В–Ї–Є –Ш—А–Ї—Г—В—Б–Ї–∞

ѕримеры применени€ операционного исчислени€ к решению дифференциальных уравнений

ѕ–»ћ≈–. Ќайти частное решение уравнени€ ,

—вертка односторонних функций, ее свойства. “еорема Ѕорел€

ѕример. Ќайти оригинал , соответствующий изображению .

‘ормулы ƒюамел€. ѕрименение их к решению дифференциальных уравнений

»нтеграл ‘урье. ѕреобрацование ‘урье

“еорема ‘урье ѕусть функци€ †1) абсолютно интегрируема на ; 2) кусочно-гладка€ на † при любом . “огда имеет место интегральна€ формула ‘урье. «аметим, что проведенный предельный переход от “–‘ к »‘ требует специального обосновани€. Ќельз€ переходить к пределу при †непосредственно в р€де, так как обычна€ интегральна€ сумма рассматриваетс€ на промежутке конечной длины, причем подынтегральна€ функци€ не мен€етс€ с уменьшением длин отрезков разбиени€. —пектральные характеристики функции –азличные записи интеграла ‘урье ѕроиллюстрировать теорему о свертке оригиналов дл€ функций примера

ƒельта -функци€, ее свойства ѕример. Ќайти изображени€ функций: а) ;†б) ;†в) ;†г) ;†д) ;†е) .

–ешение дифференциального уравнени€