Числовые рады в 
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть 
– произвольная последовательность комплексных чисел 
.
Тогда символ
называют числовым рядом в комплексной области (в ).
Сумма первых 
членов ряда 
есть -я
частичная сумма ряда.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если последовательность частичных сумм 
ряда 
сходится к числу 
, то ряд называется сходящимся, а число 
– его сумма. Если же последовательность 
расходится, то ряд 
называется расходящимся.
Если слагаемые ряда 
заданы через свои 
и 
компоненты, т.е. 
, то естественно изучать поведение ряда 
через поведение рядов 
.
Обозначим 
, 
.
ТЕОРЕМА (необходимое и достаточное условие сходимости числового ряда в 
)
Ряд сходится тогда и только
тогда, когда ряды 
и 
сходятся одновременно.
Доказательство. (
) Пусть 
. Покажем, что при 
ряды 
и сходятся, т.е. при существуют пределы их частичных сумм 
и 
(одновременно).
В самом деле, частичную сумму 
можно представить в виде сумм 
для всякого 
. Поскольку существует 
и он равен числу 
, то по соответствующей теореме одновременно
существуют пределы 
и 
, причем они равны числам 
и 
.
(
) Пусть
и 
, где 
и – действительные числа. Покажем, что в этом случае из
сходимости рядов 
и следует сходимость ряда .
Действительно, поскольку 
для всякого , то при последовательность сходится, причем значение ее предела равно числу 
.
Теорема доказана.
ПРИМЕР 6. Рассмотрим ряд
. (**)
Чтобы воспользоваться теоремой, составим числовые ряды из действительных
и мнимых частей слагаемых ряда (**), а именно: 
и
.
Каждый из этих рядов есть знакопеременный ряд, составленный из действительных чисел. К ним применима теорема Лейбница, согласно которой ряд сходится (причем абсолютно), т.е. сходится и рассматриваемый ряд (**).
Найдем сумму этого ряда.
Ряд 
– сумма бесконечно убывающей
геометрической прогрессии с первым членом 
и знаменателем прогрессии 
,
поэтому 
. Аналогично 
. Итак, сумма ряда (**) есть число 
.
Критерий Коши для ряда 
может быть перефразирован; в частности, и необходимое
условие (признак) сходимости ряда: если ряд
сходится, то 
.
Если предел -го члена ряда не является нулем, то ряд расходится. Поэтому, например,
ряд 
является расходящимся, так как 
.
Не всегда последовательность 
задается через 
и 
, иногда сложно выделить эти компоненты. В этом случае
можно использовать достаточное условие сходимости.