Степенные ряды Поточечная сходимость
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Степенным рядом называется функциональный ряд вида
. (1)
Здесь 
– числовая последовательность, 
– фиксированное число (точка). Ряд
(1) называется смещенным. Удобнее рассматривать несмещенный степенной ряд
, (2)
а результаты перенести на смещенный степенной ряд заменой 
на 
.
Структура множества точек поточечной сходимости степенного ряда (2) определяется следующей теоремой.
ТЕОРЕМА АБЕЛЯ
Если 
: ряд 
сходится, то 
ряд 
сходится (абсолютно).
Если 
: ряд 
расходится, то 
ряд 
расходится.
Доказательство. Поскольку ряд 
сходится, то по необходимому условию 
. Сходящаяся последовательность всегда
ограничена, т.е. 
.
Пусть – фиксированное и 
. Тогда 
, т.е. члены ряда 
меньше (
) соответствующих членов ряда 
, который сходится как геометрическая прогрессия
со знаменателем 
.
Итак, на 
исходный ряд сходится (абсолютно).
Пусть ряд 
расходится. Возьмем произвольное фиксированное 
.
Предположим, что ряд 
сходится,
тогда по доказанному выше в каждой точке 
ряд 
сходится, т.е., в частности, ряд 
сходится, а это противоречит предположению о его расходимости.
Требуемое утверждение обосновано.
Замечание. Для множества 
– точек сходимости ряда (2) (в рассматриваемом случае)
, для множества 
– точек расходимости ряда (2) 
.
Поскольку в каждой точке числовой оси ряд (2) сходится или расходится, то
– число (радиус сходимости) такое, что 
ряд 
сходится, а для 
ряд расходится. Интервал 
– интервал сходимости ряда (2). Поведение
ряда при 
и при 
требует дополнительного исследования.
Итак, область сходимости несмещенного степенного ряда 
есть интервал сходимости 
с возможно присоединенными "концами";
для смещенного степенного ряда 
область сходимости есть интервал 
с возможно присоединенными концами 
или 
.
Для нахождения 
– радиуса сходимости можно использовать следующие рассуждения.
(*) В степенном ряде НЕТ нулевых слагаемых, т.е. степени переменной расположены
подряд, без пропусков. Степенной ряд имеет вид . В этом случае рассмотрим ряд из абсолютных
величин, зафиксируем значение и применим признак Д'Аламбера (или признак Коши). Получим
(требуем) 
;
аналогично 
.