Критерий Коши (для числового ряда):
, (
– сходится) 
(
, 
)
(
),
т.е. для всякого положительного числа 
, можно указать номер 
такой, что "отрезок" ряда "длиной 
", начиная с элемента 
, по абсолютной величине меньше 
(выполняется условие Коши).
Критерий Коши формулирует необходимое и достаточное условия сходимости (или расходимости ряда). Пользоваться им трудно, поэтому приходится рассматривать отдельно необходимые и отдельно достаточные условия сходимости числовых рядов.
Необходимый признак сходимости
, (
– сходится) 
,
т.е. если ряд сходится, то предел его -го члена существует и равен нулю; обратное утверждение
неверно (приведем контрпример).
Доказательство. Пусть ряд – сходится. Тогда выполняется условие Коши:
;
в частности, при 
, отсюда (по определению предела последовательности) имеем
.
Контрпример. Гармонический ряд
.
Хотя 
, ряд расходится.
Следствие (достаточное условие расходимости ряда):
, 
,
т.е. если предел -го члена ряда существует и не равен нулю, то ряд расходится.
Например, ряды 
, 
, 
– расходятся (сумма каждого из них не может быть конечной).
Применение критерия Коши позволяет обосновать свойства рядов (рекомендуем провести самостоятельно) ([1] – [4]).
Некоторые свойства сходящихся рядов
1. Для произвольного ряда ряд 
называется остатком ряда ("начиная с 
").
Ряды и 
сходятся и расходятся ОДНОВРЕМЕННО.
2. Если ряд сходится, то добавление или отбрасывание КОНЕЧНОГО множества слагаемых не изменяет сходимости "нового" ряда.
3. Для всякого ряда верно представление 
.
Если ряд сходится и 
, то 
.
4. Ряды и 
сходятся и расходятся одновременно. В случае сходимости
рядов имеем 
(
– произвольная постоянная).
5. Если ряды и 
сходятся, то ряд 
также сходится, и сумма получается сложением сумм исходных
рядов. Обратное утверждение неверно.
Свойства 4 и 5 следуют из соответствующих теорем для последовательностей.
Установление поведения ряда желательно уметь проводить по информации о слагаемых ряда; при этом для конкретного типа рядов информативность выше.