ФКП
Гиперболические ФКП. Формулы ЭЙЛЕРА
ФКП "гиперболический синус" 
и ФКП "гиперболический косинус" 
определяются как суммы соответствующих степенных рядов
;
область сходимости этих рядов – вся 
– плоскость.
Свойства и
1. – нечетная,
– четная ФКП на – плоскости.
2. Связь с показательной ФКП 
определяется формулами
, 
.
3. Гиперболические ФКП и являются периодическими с множеством периодов 
,
.
4. Связь гиперболических и тригонометрических ФКП определяется формулами
, 
;
, 
,
которые легко проверить непосредственно по определению функций.
5. Можно доказать, что существует "гиперболическая тригонометрия", т.е. имеют место некоторые тождества, связывающие гиперболические ФКП аналогично формулам тригонометрии, например,
,
,
и т.д.
Например, из тождества 
для 
получаем 
.
6. При 
гиперболические
функции 
и 
можно интерпретировать соответствующими
графиками, значения 
и 
даны в таблицах (см. [6]).
ПРИМЕР 5. Вычислить 
.
Решение
.
Применили формулу для 
(см. пример 3).
ПРИМЕР 6. Найти образ полосы 
, 
(см. рисунок) при отображении 
.
Решение. 
, т.е. 
Находим образ границы полуполосы:
для 
, 
имеем 
– верхняя полуось 
, 
, точка 
переходит в 
; для 
, 
имеем 
– отрезок 
оси 
, причем при 
изменение 
определяется неравенствами 
и при 
соответственно 
, точка переходит в 
, т.е. отрезок 
оси 
отображается в отрезок , проходимый точкой 
дважды; для 
имеем 
– нижняя полуось .
Применяя свойство сохранения ориентации границы и области при отображении
, можем сделать вывод: образом
рассматриваемой полуполосы является полуплоскость 
, за исключением точек отрезка
оси .
Функции 
и 
вводятся с помощью и ; их свойства устанавливаются на основе свойств ФКП
и .
14.3. ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФКП
Для ФКП 
, 
, 
можно рассматривать обратную ФКП 
, которая определена на множестве 
,
имеет значения из множества 
и удовлетворяет соотношению 
. Обратная ФКП может быть как однозначной, так и многозначной.
Например, для линейной ФКП 
(
), отображающей – плоскость в 
– плоскость, обратная ФКП 
(ее обычно записывают в виде 
, т.е. переобозначают переменные);
обе функции однозначные и определены на () – плоскости. Для ФКП 
, отображающей – плоскость в () – плоскость, обратная ФКП 
или в привычных обозначениях 
является двузначной, определена на – плоскости.
Для показательной ФКП 
( – любое) обратной ФКП является ФКП 
или после переобозначения переменных
.
Свойства 
1. Равенство эквивалентно равенству 
, откуда получаем 
или 
и 
или 
, 
. Итак, 
или после переобозначения переменных имеем
, ,
здесь через 
обозначается "натуральный логарифм" действительного
числа 
, т.е. 
, через – значения комплекснозначного логарифма комплексного
числа .
2. – бесконечно значная
ФКП, при каждом конкретном значении 
имеем однозначную ветвь логарифмической ФКП. При 
однозначную ветвь 
обозначают
через 
и называют главным
значением (главной ветвью) логарифмической ФКП, т.е.
.
3. При 
совпадает с 
, поэтому естественно ожидать, что некоторые свойства
для распространяются на .
В частности, имеют место формулы
;
;
(заметим, в частности, что выражение вида 
следует понимать в смысле суммирования каждого
значения одного логарифма с каждым значением другого логарифма).
4. С помощью логарифмической ФКП определяется значение общей показательной
функции 
по правилу
.