Ряды с положительными слагаемыми
Заметим сразу, что если ряд состоит только из отрицательных слагаемых, то
можно перейти к ряду из соответствующих положительных слагаемых (свойство
4, 
).
Интегральный признак сходимости (или расходимости) знакоположительного ряда
использует АНАЛОГИЮ между несобственным интегралом вида 
и рядом 
, где 
, 
.
ТЕОРЕМА. Пусть задан числовой ряд 
такой, что 
. Пусть существует функция 
, такая, что
1) 
; 2) 
;
3) 
.
Тогда ряд 
и несобственный интеграл 
сходятся и расходятся одновременно.
Доказательство
На 
верно
неравенство
x
.
(Всякое слагаемое ряда можно представить как значение площади прямоугольника
с высотой 
и длиной основания – расстояние между двумя соседними точками на оси 
). Суммируя эти неравенства при 
, получим
.
Используя неравенства, получим требуемый результат (нужно обосновать четыре утверждения).
Например, пусть ряд 
– сходится, т.е. 
– конечное число, 
, причем для имеем 
. Из правой части двойного неравенства 
при 
и условий, которым удовлетворяет функция 
, получаем сходимость несобственного
интеграла 
. Аналогично в других случаях.
ПРИМЕР 4. 
. Рассмотрим 
, для нее условия 1 – 3 теоремы выполняются и 
;
при 
, т.е. при ряд 
расхо-
дится; например, ряды 
и 
– расходятся.
При 
, т.е. ряд 
– расходится (см. ранее гармонический ряд).
При 
– конечное число, т.е.
при 
, 
ряд – сходится.
Например, ряды 
, 
, 
– сходятся.