Теорема необходимое и достаточное условие сходимости знакоположительного ряда – через "ограниченность" частичных сумм
; 
.
Доказательство. (
) Пусть 
– сходится; поскольку 
, имеем 
– возрастающая последовательность, имеющая конечный предел,
т.е. 
– конечное число : 
,
получаем 
, т.е. – ограниченная последовательность.
(
) Пусть теперь 
– ограниченная последовательность 
; тогда в силу знакоположительности слагаемых ряда
возрастает (оставаясь ограниченной сверху). По соответствующей теореме для
числовых последовательностей получаем : 
, причем 
.
ТЕОРЕМА (сравнение знакоположительных рядов)
Пусть 
; 
.
Пусть 
.
Тогда 
;
.
Доказательство рекомендуем провести самостоятельно, используя определение сходимости и расходимости рядов и соответственно последовательностей.
Для изучения поведения числового ряда иногда можно подобрать "оценочный" ряд с известным поведением, по которому устанавливается сходимость или расходимость исходного ряда.
ПРИМЕР 5. Ряд 
, т.к. 
.
Ряд 
– расходится, по теореме
сравнения исходный ряд 
тоже расходится (можно получить результат, применяя необходимый
признак сходимости).
ПРИМЕР 6. Для ряда 
оценочный ряд построим, используя неравенство 
. Получим 
(по формуле суммы всех членов убывающей прогрессии
, 
).
ТЕОРЕМА (сравнение знакоположительных рядов в предельной форме)
Для произвольных знакоположительных рядов 
и 
, если
существует конечный предел 
, причем 
, то ряды
и 
сходятся и расходятся одновременно.
Доказательство. По определению предела имеем
,
т.е. 
.
Пусть ряд сходится, тогда по теореме (о сравнении) ряд 
также сходится, здесь в силу произвольности выбора 
и условия 
можно взять 
. По свойствам сходящихся рядов ряд сходится.
Пусть ряд 
расходится, тогда по теореме (о сравнении) из неравенства
получаем расходимость
ряда 
и расходимость ряда .
Аналогично можно получить утверждения, исходя из сходимости или расходимости
ряда (рекомендуем проделать
самостоятельно).