Теорема признак Д'Аламбера
Пусть задан 
, пусть 
– конечное число, 
. Тогда 
;
.
При 
требуются дополнительные
исследования.
Доказательство. Пусть 
. Тогда для 
существует 
такое, что для всякого 
, или 
, или 
, т.е., начиная с некоторого номера, имеем 
. Числовой ряд 
сходится и оценивает сверху исходный ряд, поэтому ряд 
сходится.
Пусть 
. Тогда, начиная с некоторого номера, 
, т.е. 
; для ряда 
(ряд состоит из положительных слагаемых) 
, поэтому исходный ряд расходится.
Заметим, что условие не позволяет установить поведение ряда. Например, для
расходящегося ряда 
имеем 
;
для сходящегося ряда 
имеем
также .
ТЕОРЕМА (признак Коши)
Пусть задан 
; пусть – конечное число, 
. Тогда 
;
.
Доказательство проводится аналогично доказательству признака Д'Аламбера (рекомендуем провести самостоятельно).
При требуются дополнительные
исследования.
Например, для расходящегося ряда 
имеем , поскольку 
.
Заметим на будущее, что 
.
Хотя ряд 
сходится, значение , поскольку
.
Итак, по значению нельзя установить поведение ряда.
Пример 3:
Решить
уравнение 
: 
, 
, интегрируя обе части уравнения, получим
d(lny)
= d(lnx) 
.
Потенциируя обе части уравнения, получаем общее решение y = Cx, которое изображается серией линейных интегральных кривых, проходящих через точку (0,0). При этом из графика (рис.3) видно, что через любую точку, не принадлежащую (0,0), проходит только одна интегральная кривая (решение).
Рис.3