Задача . Вычислить .

Решение. Интеграл можно свести к табличному (1), если сделать замену . Дифференцируя обе части равенства, получим , т.е. . Интеграл определенный, поэтому необходимо изменить пределы интегрирования: если , то ; если , то .

Следовательно,

Задача 2. Вычислить .

Решение. Сведем данный интеграл к табличному (3), сделав замену переменной . Тогда  Изменяем пределы интегрирования: если , то ; если , то .

Получаем

Гамма функция (Интеграл Эйлера 2го рода)

1. Определение гамма-функции.

Неэлементарная трансцендентная функция, определяемая для положительных  равенством

 (1)

азывается гамма-функцией или интегралом Эйлера 2-го рода. Эта функция относится к числу так называемых специальных функций, с помощью которых выражаются решения многих задач математической физики, статистки и пр..   имеет две особые точки  и . Представим интеграл (1) в виде суммы двух интегралов

Оба интеграла сходятся равномерно по параметру  на любом конечном отрезке . Действительно, пусть  и . Тогда   при   и , и, следовательно интеграл  сходится равномерно на .

Аналогично   при ,  сходится, а сходится равномерно на .

Кроме того, оба интеграла непрерывны по параметру  на произвольном отрезке , а поэтому функция   непрерывна .

Значит при   функция  непрерывно дифференцируема, причём

Применяя метод математической индукции можно доказать, что  имеет производную nго проядка при , причём

,

в частности

.

Замечание. Сделаем подстановку  в интеграле (1), тогда получим

.

Заменяя здесь переменную интегрирования  на , получим выражение для гамма-функции в виде

.