Контрольная работа по теме интегралы

Поверхностный интеграл второго рода

К понятию поверхностного интеграла 2-го рода приводит физическая задача о вычислении потока жидкости через некоторую  поверхность S. При этом, в каждой точке поверхности S задаётся векторная функция (x,y,z) скорости жидкости.

Поверхность S называется двусторонней, если нормаль к поверхности при обходе по любому замкнутому контуру, лежащему на поверхности S, возвращается в первоначальное положение. Сторона поверхности S задаётся выбором направления нормали к поверхности, в этом случае поверхность называется ориентированной. Поверхностный интеграл 2-го рода имеет вид

где - скалярное произведение, в котором - единичный вектор нормали к заданной стороне поверхности S в произвольной точке (S - поверхность интегрирования). Применяется и другое обозначение векторной функции, а именно . Если векторные функции задать своими координатами

(P(x, у, z), Q(x, у, z), R(x, y, z)), (cos α, cos β, cosγ), то поверхностный интеграл 2-го рода можно записать в одной из следующих форм:

Ряды Фурье в комплексной форме

Если уравнение поверхности задано в виде z= f(x, у) и поверхность S взаимнооднозначно проектируется на координатную плоскость хОу в область хOу, то интеграл (45) можно вычислить по расчетной формуле

где запись

означает, что после вычисления скалярного произведения переменную z необходимо заменить на f(x, у).

Единичный вектор нормали  вычисляется по формуле:

 Коэффициент при орте  в формуле (47) определяет косинус

В формулах (47) и (48) выбирается знак «плюс», если угол γ между осью Oz и вектором - острый; знак «минус», если этот угол - тупой.

Формулы (46) - (48) реализуют метод вычисления поверхностного интеграла, который называется методом проектирования на одну из координатных плоскостей.

Свойства поверхностных интегралов 2-го рода такие же, как у поверхностных интефалов 1-го рода, за исключением одного - при изменении стороны поверхности интеграл (45) меняет знак.


Решение типового варианта контрольной работы