Контрольная работа по теме интегралы

Пример. Вычислить поверхностный интеграл 2-го рода по внешней боковой стороне цилиндра , лежащей в первом октанте и ограниченной плоскостями х = 0,5, х = 1, у =0,5, причём 0,5 < х < 1, у > 0,5.

Векторная функция

РЕШЕНИЕ

Заданная поверхность взаимно однозначно проектируется на плоскость хОу, причём область Dху - квадрат 

По условию задачи угол γ - острый, поэтому в формулах (47), (48) выбираем знак «плюс».

Рис.10 - к примеру 4

Уравнение поверхности. Вычисляем формулы (47) и (48) и результат подставляем в (46):

В  качестве остальных границ служат плоскости z=0, у=х, х=0. Тело представлено на рисунке 13б. Для вычисления объёма применяем формулу (15) в сферической системе координат.

Применяя формулы (20), найдём уравнения границ тела и приведём тройной интеграл к повторному:

4. ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЯ 5

Вычислить криволинейный интеграл первого рода

РЕШЕНИЕ а) Судя по уравнению кривой интегрирования, интеграл нужно вычислять по формуле (28):

РЕШЕНИЕ b) В этом пункте кривая задана параметрическими уравнениями, поэтому интеграл вычисляем по формуле (30):

Вычисление массы тела

Если в каждой точке тела , ограниченного простой поверхностью, задана плотность , где   - непрерывная функция в каждой точке тела , то, проведя аналогичные рассуждения, получим, что масса тела

.


Решение типового варианта контрольной работы