Пример Вычислить интеграл  по верхней стороне полусферы

  Преобразуем уравнение поверхности к виду:

  Заданная поверхность проецируется на плоскость XOY в круг, уравнение которого:

  Для вычисления двойного интеграла перейдем к полярным координатам:

,

Связь поверхностных интегралов первого и второго рода

Поверхностные интегралы первого и второго рода связаны друг с другом соотношением:

  (25.5)

 В формуле (25.5) cosa, cosb, cosg – направляющие косинусы нормали к поверхности S в выбранную сторону поверхности.

П.4. Формула Гаусса-Остроградского аналогом формулы Грина-Остроградского. Эта формула связывает поверхностный интеграл второго рода по замкнутой поверхности с тройным интегралом по пространственной области, ограниченной этой поверхностью.

 Для вывода формулы Гаусса-Остроградского надо воспользоваться рассуждениями, подобными тем, которые использовались при нахождении формулы Грина – Остроградского.

 Рассматривается сначала поверхность, ограниченная сверху и снизу некоторыми поверхностями, заданными известными уравнениями, а сбоку ограниченную цилиндрической поверхностью. Затем рассматривается вариант, когда поверхность ограничена цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными двум другим координатным осям.

 После этого полученные результаты обобщаются, приводя к формуле Гаусса-Остроградского:

  (25.6.)

 Отметим, что формула (25.6) применима для вычисления поверхностных интегралов по замкнутой поверхности.

 На практике формулу Гаусса – Остроградского можно применять для вычисления объема тел, если известна поверхность, ограничивающая это тело.

 Имеют место формулы:

  (25.7)