Пример Вычислить интеграл
по верхней стороне полусферы
Преобразуем уравнение поверхности к виду:
Заданная поверхность проецируется на плоскость XOY в круг, уравнение которого:
Для вычисления двойного интеграла перейдем к полярным координатам:
,
Связь поверхностных интегралов первого и второго рода
Поверхностные интегралы первого и второго рода связаны друг с другом соотношением:
(25.5)
В формуле (25.5) cosa, cosb, cosg – направляющие косинусы нормали к поверхности S в выбранную сторону поверхности.
П.4. Формула Гаусса-Остроградского аналогом формулы Грина-Остроградского. Эта формула связывает поверхностный интеграл второго рода по замкнутой поверхности с тройным интегралом по пространственной области, ограниченной этой поверхностью.
Для вывода формулы Гаусса-Остроградского надо воспользоваться рассуждениями, подобными тем, которые использовались при нахождении формулы Грина – Остроградского.
Рассматривается сначала поверхность, ограниченная сверху и снизу некоторыми поверхностями, заданными известными уравнениями, а сбоку ограниченную цилиндрической поверхностью. Затем рассматривается вариант, когда поверхность ограничена цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными двум другим координатным осям.
После этого полученные результаты обобщаются, приводя к формуле Гаусса-Остроградского:
(25.6.)
Отметим, что формула (25.6) применима для вычисления поверхностных интегралов по замкнутой поверхности.
На практике формулу Гаусса – Остроградского можно применять для вычисления объема тел, если известна поверхность, ограничивающая это тело.
Имеют место формулы:
(25.7)