Задача . Вычислить .

Решение. Выполним замену переменной:

Получим  

В подынтегральном выражении выделим целую часть:

В интеграле  сделаем замену:

,

при этом

Возвращаясь к переменной х, получим

Задача 6. Вычислить .

Решение. Это интеграл вида .

Одно из чисел m и n нечетное (в данном случае ), поэтому интеграл можно вычислить следующим образом. Преобразуем подынтегральное выражение

, следовательно, можно выполнить замену: .

В результате получим

Поверхностные интегралы первого и второго рода

П.1. Поверхностные интегралы первого рода

 

  

Рисунок 25.1. Поверхностный интеграл в пространстве

Поверхностный интеграл является таким же обобщением двойного интеграла, каким криволинейный интеграл является по отношению к определенному интегралу.

 Рассмотрим поверхность в пространстве, которая произвольно разбита на n частей (рис 25.1).

 Рассмотрим произведение значения некоторой функции F в произвольной точке с координатами (a, b, g) на площадь частичного участка DSi, содержащего эту точку (рис 25.1).

  Определение. Если при стремлении к нулю шага разбиения l  поверхности существует конечный предел интегральных сумм, то этот предел называется поверхностным интегралом первого рода или интегралом по площади поверхности.

  (25.1)