Контрольная работа по теме интегралы

Задача Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями: у2-4у+х2=0; у2-8у+х2=0; ;

Указание. В этой задаче двойной интеграл удобнее вычислять в полярной системе координат.

 Пусть область D ограничена двумя кривыми, имеющими в полярной системе координат уравнения , и двумя лучами j=j1 и j=j2, (j1<j2) т.е. область D записывается в виде D:{j2 ³ j ³ j1; r2(j) ³ r ³ r1( j)}. В этом случае справедлива формула:

Решение:

Преобразуем первое уравнение ( у2-4у+4)+х2=4. В скобках стоит полный квадрат:

(у-2)2+х2=4 – это есть уравнение окружности с центром в точке (0,2) и радиусом равным 2. Аналогично второе уравнение приводится к виду х2- (у-4)2=16 . Это есть уравнение окружности с центром в точке (0,4) и радиусом, равным 4. Уравнение  -- уравнение прямой, проходящей через начало координат под углом 300 к оси ОХ . Построим все эти линии (рис.10)

Рис.10.


Заштрихованная фигура и есть та площадь, которую нам надо найти. Запишем уравнение окружности в полярных координатах, сделав замену по формулам x =r cos j, y =r sinj. Получим для первой окружности r2 sin2j -- 4r isn j +r2 cos2j =0; Þ r = 4sinj . Уравнение второй окружности в полярных координатах: . Область записывается в виде Таким образом,

Ответ:

Вычисление тройного интеграла

Пусть тело   есть простая область (рис. 10). Допустим, что оно ограничено снизу поверхностью , сверху поверхностью , а с боков - цилиндрической поверхностью, образующие которой параллельны оси , а направляющей служит граница простой области , расположенной в плоскости , причём функции   и  непрерывны в области . Пусть, кроме того, функция  интегрируема в теле . Тогда можно сказать, что

,

причём интеграл, стоящий справа, записывается так:

.

В том случае, если область  ограничена снизу непрерывной кривой , сверху - непрерывной кривой , а с боков прямыми   и , то последнюю формулу можно записать так:

.

Интеграл, стоящий справа, называется трехкратным или повторным. Заметим, что выбирая внешнее интегрирование по переменной  или , можно написать ещё пять различных трехкратных интегралов, через которые выражается данный интеграл . Порядок выполнения операций интегрирования зависит от вида области, по которой выполняется интегрирование.


Решение типового варианта контрольной работы