Контрольная работа по теме интегралы

Задача Пластинка D заданна ограничивающими ее кривыми, m - поверхностная плотность. Найти массу пластинки.

Решение:

Построим линии ограничивающие область (рис.12).

Рис.12.

заштрихованная часть полученной фигуры, так как именно в этой части выполняется условие y ³ 0. Теперь обычным способом вычисляем массу пластинки, равную двойному интегралу от поверхностной плотности:

Ответ: MD=2

Задача

Найти объем тела W, заданного ограничивающими его поверхностями:

Решение:

Поверхность x2 + y2 =50 - прямой круговой цилиндр, направляющей служит окружность x2 + y2 =50 с центром(0,0) и радиусом . Поверхность  - цилиндрическая поверхность с вертикальными образующими, направляющей является полу -парабола . Остальные поверхности являются плоскостями. Построив указанные поверхности, получим заданное тело (рис.13.а) Рис.13

Напомним, что объем тела  вычисляется по формуле

Тело  W снизу ограничено поверхностью z=0, сверху – поверхностью z=6y/11, проекция W на плоскость ху совпадает с основанием D этого тела (рис.13.б). Поэтому

Ответ: VW=50


Решение типового варианта контрольной работы