Контрольная работа по теме интегралы

Задача Найти объем тела W, заданного ограничивающими его поверхностями

Решение:

Поверхности - это цилиндрические поверхности с вертикальными образующими, направляющими являются соответственно полупараболы Все остальные поверхности являются плоскостями. Построив поверхности, получаем тело, ограниченное этими поверхностями (рис.14.а).

рис.14

Тело W снизу ограничено поверхностью z=0 , сверху – поверхностью , и проекция W на плоскость ху совпадает с основанием D этого тела (рис.14.б). Поэтому

Ответ: VW=1

Задача

Найти объем тела W, заданного ограничивающими его плоскостями: х2+у2=5у; х2+у2=8у;

Решение:

Преобразуем уравнения х2+у2=5у; х2+у2=8у; соответственно к виду . Первое уравнение –это уравнение прямого кругового цилиндра, направляющей служат окружность  с центром в точке (0, 5/2) и радиусом, равным 5/2, второе – уравнение прямого кругового цилиндра, его направляющая – окружность х2+(у-4)2=160 с центром в точке (0, 4)и радиусом, равным 4. Уравнение  полуконуса с вершиной в точке (0,0,0),

для которого ось oz является осью симметрии. Поверхность z=0 есть уравнение плоскости ху. Построив поверхности, получим тело W, ограниченное этими поверхностями (рис.15.а).

Рис.15.

x2+y2=5y

тело W сверху ограничено поверхностью полуконуса , снизу – поверхностью z=0 , и проекция тела W на плоскость ху совпадает с основанием D этого тела (рис.15.б). Поэтому

Этот интеграл удобно вычислять в полярной системе координат. Уравнения х2+у2=5у

и х2+у2=8у в этой системе координат соответственно имеют вид r = 5sinj , r = 8sinj . Область D записывается в виде:D:{ 0£ j £ p; 5sinj £ r £ 8sin j} .Таким образом,

Ответ: VW=172


Решение типового варианта контрольной работы