Контрольная работа по теме интегралы

Задача Найти объем тела W, заданного ограничивающими его поверхностями: х2+у2+2х=0; z=25/4 –y2; z=0.

Решение:

Преобразуем уравнение х2+у2+2х=0 к виду  (х+1)2+у2=1. Это есть уравнение прямого кругового цилиндра, направляющей служит окружность (х+1)2+у2=1 с центром в точке (-1, 0)и радиусом, равным 1. Второе уравнение z=25/4 –y2 - есть уравнение цилиндрической поверхности с образующими, параллельными оси ох , направляющей служит парабола z=25/4 –y2 на плоскости yz . Третья поверхность z=0 есть плоскость ху .Построим эти поверхности (рис. 16.а).

Рис.16.

 

Тело W снизу ограничено поверхностью z=0, сверху – поверхностью z=25/4 –y2, и проекция W на плоскость ху совпадает с основанием D этого тела. Поэтому

Полученный интеграл будем вычислять в полярной системе координат. Уравнение х2+у2+2х=0 в этой системе имеет вид r =-2cosj. Область D записывается в виде . Таким образом,

(стр.21)

Ответ: VW=6p

Задача

Найти объем тела W, заданного ограничивающими его поверхностями

Решение:

  Уравнение  это уравнение конуса, образованного вращением прямой вокруг оси oz (причем берется верхняя его часть, поскольку z ³ 0). Второе уравнение  - это уравнение параболоида, образованного вращением параболы  вокруг оси oz .Тело, ограниченное этими поверхностями, изображено на (рис.17.а)

Рис.17.

Тело W снизу ограничено поверхностью   , сверху- поверхностью  Найдем проекцию W на плоскость ху .Для этого решим систему

Получим  х2+у2=1 , т.е. проекцией W на плоскость ху является круг D радиусом 1 с центром в точке (0, 0). Таким образом,

Полученный интеграл будем вычислять в полярной системе координат. Область D записывается в виде .

Поэтому

Ответ: VW=2p


Решение типового варианта контрольной работы