Задача:

найти объем тела W, заданного ограничивающими его поверхностями z=10(x2+y2)+1; z=1-20y.

Решение:

Первая поверхность – параболоид вращения, полученный вращением параболы z=10x2+1, лежащей на плоскости xz. Вторая поверхность z=1-20y,

 является плоскостью, параллельной оси ох. Тело W, ограниченное этими поверхностями, изображено на (рис. 19.а).

Рис.19.

Тело W снизу ограничено поверхностью z=10(x2+y2)+1,  сверху – поверхностью z=1-20y. Найдем область D в плоскости ху , на которую проектируется тело W. Для этого решим систему

 ìz=1-20y;

 í

  îz=10(x2+y2)+1

Получим 10(х2+у2)=-20Þх2+(у+1)2=1, т.е. D есть круг радиусом 1 с центром в точке (0, 1). В полярных координатах уравнение окружности х2+(у+1)2=1имеет вид r =-2 sin j , и вэтих координатах D записывается в виде D:{-p£ j £ 0; 0£ r £-2sinj}. Таким образом,

Ответ: VW=5p

Задача

Тело W задано ограничивающими его поверхностями ,m - плотность. Найти массу тела. 4(x2+y2)=z2; x2+y2=1; y=0; z=0; (y ³ 0; z³ 0); m=10(x2+y2)/

Решение:

первое уравнение есть уравнение конуса, второе – уравнение прямого кругового цилиндра, направляющей служит окружность х2+у2=1, лежащая на плоскости ху. Из третьего уравнения и неравенства z ³ 0 следует, что тело W расположено выше плоскости ху , а из четвертого уравнения и неравенства y³ 0 следует ,что оно расположено за плоскостью xz . Тело W получим , построив поверхности(рис. 20.а).

Рис.20.

 

( стр.26)

Для нахождения массы тела W применяем формулу

Тело W снизу ограничено плоскостью z=0 , сверху – поверхностью  , и проекция W на плоскость ху является полукругом D (рис.20.б), в полярных координатах D:{ 0 £ j £ p; 0 £ r £ 1} . Поэтому

Ответ:MW = 4p