Задача Вычислить .

Решение. Выделим в числителе производную подкоренного выражения

Первый интеграл вычисляется путем замены , тогда  Имеем

Второй интеграл преобразуем путем выделения полного квадрата в подкоренном выражении:

 

Тогда с учетом формулы (16) получим

Следовательно, исходный интеграл равен

Задача 11. Вычислить .

Решение. При интегрировании иррациональных выражений вида  (здесь R – рациональная функция;  - целые числа) подстановка , где к – наименьшее общее кратное знаменателей , позволяет избавиться от иррациональности. В данном случае  Наименьшее общее кратное этих чисел равно 6. Применяем подстановку  

Тогда   и

Возвращаясь к переменной х с учетом того, что , получим

Геометрический смысл тройного интеграла

В том случае, если подынтегральная функция , то очевидно, что тройной интеграл  даёт нам объём тела , по которому ведётся интегрирование.

Приложения двойных и тройных интегралов

1. Вычисление площади плоской области

Мы установили, что площадь плоской области может быть вычислена по формуле

.