Контрольная работа по теме интегралы

Задача . Найти момент инерции однородной пластинки, имеющей форму треугольника с основанием  и высотой , относительно его основания. Будет предполагать пластинку однородной, так что её поверхностная плотность равна  (т.е. масса, приходящаяся на единицу площади) будет постоянной и, следовательно, , где  - площадь пластинки.

Решение.   За основание треугольника примем ось , а его высоту за ось  (рис 4). Разобьём треугольник на бесконечно тонкие горизонтальные полоски ширины , играющие роль элементарных масс .

Используя подобие треугольников получаем:

.

Площадь   бесконечно тонкой горизонтальной полоски ширины  равна , тогда получим

,

откуда .

Следовательно, .

 

Статическим моментом относительно оси  материальной точки , имеющей массу   и отклонение  (с учётом знака) оси , называется величина .

Статическим моментом относительно оси  системы  материальных точек с массами , лежащих в одной плоскости с осью  и имеющих отклонения  (с учётом знаков) от этой оси (рис 5) называется сумма

.

Если массы непрерывно заполняют фигуру плоскости , то вместо сумм должен быть соответствующий интеграл.


Решение типового варианта контрольной работы