Контрольная работа по теме интегралы

Задача. Найти статический момент однородной пластинки, имеющей форму полукруга радиуса  и плотность , относительно основания полукруга.

Решение. Основание полукруга поместим на ось , а за ось  примем перпендикуляр к оси , проходящий через центр полукруга (рис 6). Разобьём полукруг на бесконечно тонкие горизонтальные полоски ширины . Элементарный статический момент  этой бесконечно тонкой полоски относительно оси  будет равен , следовательно, .

Из треугольника (рис 6) по теореме Пифагора находим .

Следовательно,

.

Интегрируя это равенство по , получим:

.

Координаты центра масс  плоской фигуры массы  вычисляются по формулам

где   и  - статические моменты плоской фигуры массы .

Задача. Найти координаты центра масс однородной пластинки, рассмотренной в предыдущем примере.

Решение. Так как пластинка предполагается однородной (плотность ), то в силу симметрии пластинки её центр масс  должен лежать на оси , т.е.   (рис. 7).

Масса пластинки равна

а так как из предыдущего примера известно, что , то будем иметь . Итак,   - центр масс однородного полукруга радиуса .


Решение типового варианта контрольной работы