Задача . Вычислить .

Решение. Интегралы вида , , , где R – рациональная функция, приводятся к интегралам вида , если выполнить замену переменной:

- для первого интеграла  (или );

- для второго интеграла (или );

- для третьего интеграла  (или ).

Данный интеграл вычисляем заменой .

Тогда .

Получаем

.

,

тогда

Возвращаясь к старой переменной при , получаем

Примеры решения задач

1. УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ ЗАДАНИЯ 1

Область интегрирования D задана уравнениями границ. По заданным уравнениям нужно нарисовать кривые или прямые линии, которые образуют замкнутую область D. Затем нужно выбрать порядок интегрирования и применить формулу (8) или (9), как это выполнено в примере 1. Достаточно выполнить интегрирование только по одной из двух формул.

2. ПРИМЕРЫ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЙ 2 и 3

В заданиях 2 и 3 требуется вычислить двойные интегралы, для чего вначале нужно изобразить область интегрирования D.

Указания к изображению области интегрирования D.

Уравнение  - уравнение окружности радиуса R с центром в точке (х0,у0).

Неравенство задаёт на плоскости круг с центром в начале координат и радиусом R. Неравенство задаёт внешность круга с центром в начале координат и радиуса R.

Если граница области D задана неравенством вида , то нужно выделить полный квадрат суммы или разности с той переменной, которая присутствует в неравенстве как в квадрате, так и в первой степени. Например, задано неравенство

Выделим полный квадрат разности с переменной х 

Неравенство описывает круг радиуса 2 с центром в точке (2; 0).

ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЯ 2

Изобразить на плоскости фигуру D. Вычислить массу пластины О с поверхностной плотностью распределения μ=μ(х, у). Рекомендуется использовать полярную систему координат.

D: x2+y2≥1; x2 -2x+y2 ≤0; y≥0; y≤x. μ = y.

Границы области D: окружность радиуса 1 с центром в начале координат

x2+y2=1окружность со смещенным центром

  прямые у = 0 и у=х. Изображение области D - на рисунке 11.

 

Рис. 11 Область D

Используя формулы (10), преобразуем уравнения границ в полярную систему координат:

Массу пластинки с заданной поверхностной плотностью вычисляем по формуле (4) с учетом формул (10) и (11):

Ответ: