Пример. Вычислить объём тела, ограниченного координатными плоскостями и плоскостью   (рис. 11).

Решение. Искомый объём , где тело   есть пирамида, ограниченная плоскостью  и координатными плоскостями.

Очевидно, что этот тройной интеграл можно выразить шестью различными способами через трёхкратный:

или

или

Проведём вычисления по последней формуле (нетрудно убедиться, что остальные интегралы вычисляются аналогично), получим

.

Имеем .

Наконец,  куб. ед.

1. Определение бета-функции

Бета-функцией или интегралом Эйлера первого рода называется интеграл вида

 (1)

Для  и  интеграл является несобственным как на верхнем, так и на нижнем пределах интегрирования. Можно доказать однако, что эти интегралы сходятся.

2. Свойства бета-функции

1.  (симметрия)

Действительно, сделаем замену переменных в интеграле , положив .

Получим

,

т.е. .

2. Докажем, что для бета-функции справедливы формулы приведения

 (2)

Для доказательства решим интеграл (1) по частям:

Преобразуем подынтегральное выражение во втором интеграле так:

таким образом выражение для :

Откуда следует:

В силу симметрии бета-функции имеем аналогичную формулу приведения:

.

Формулы приведения позволяют свести вычисление бета-функции от аргументов больших единицы, к вычислению её от аргументов, меньших единицы.