Контрольная работа по теме интегралы

Задача. Вычислить , если l задана уравнением

Решение. Воспользуемся формулой (27) вычисления криволинейного интеграла I рода для кривой, заданной в полярных координатах:

Получим

Согласно формуле (20)

Тогда

Задача 17. Найти массу дуги кривой , если плотность кривой 

Решение. Применяем формулу (28) вычисления массы дуги с помощью криволинейного интеграла I рода:

Формула (25) позволяет преобразовать криволинейный интеграл в определенный:

Так как , получаем

Уравнение сферы радиусом R с центром в начале координат имеет вид:

Рис.12 Область V и её проекция D к примеру выполнения задания 4,а

РЕШЕНИЕ

а) С учётом примечаний, определяем виды заданных поверхностей. Так уравнение z=0  определяет координатную плоскость хОу. Уравнение 2х + z = 4 - уравнение плоскости, проходящей параллельно оси Оу. Уравнения

задают две цилиндрические поверхности с образующими, параллельными оси Oz. Объёмное тело и его проекция на плоскость хОу показаны на рисунке 25. Объём тела определяем по формуле (15):

РЕШЕНИЕ

b) Одна из граничных поверхностей тела - цилиндрическая, так что проекцией тела на плоскость хОу является круг х2 + у2 = 9 радиусом 3. Две другие граничные поверхности - плоскости z = 0 z = у + 3 (рисунок 13, а). Для вычисления объёма тела применяем формулу (15) в цилиндрической системе координат:

Порядок интегрирования в цилиндрических координатах всегда один и тот жеv z, r, φ. Приведём тройной интеграл к повторному используя формулы (18) и вычислим:

РЕШЕНИЕ с) Две поверхности, ограничивающие тело - сферы с радиусом 1 и 2:

x2+у2 +z2 =1,

х2 +у2+z2 =4. 


Решение типового варианта контрольной работы