Дифференциальные уравнения

Задача. Вычислить определенные интегралы.

Задача. Вычислить площади фигур, ограниченных графиками функций.

Задача. Вычислить площади фигур, ограниченных линиями, заданными в полярных координатах.

Пример.

Найдем неопределенные коэффициенты:

 

   

Тогда значение заданного интеграла:

Исследование гамма-функции.

Ранее мы установили, что гамма-функция  непрерывна и дифференцируема сколько угодно раз для , кроме того , следовательно в силу теоремы Ролля

  такая, что .

можно показать, что  и в этой точке гамма-функция имеет минимум, причём . Учитывая, что , нетрудно заметить, что .

Принимая во внимание проведённое исследование, нетрудно нарисовать график гамма-функции для  (рис 1).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 рис 1

Пользуясь формулами приведения, гамма-функцию доопределяют и для отрицательных . Окончательно график  имеет вид (рис 1).

 


Геометрические и физические приложения кратных интегралов