Геометрические и физические приложения кратных интегралов

1) Площадь плоской области S:

  (11)

Пример 1.

Найти площадь фигуры D, ограниченной линиями

у = 2, у = 5.

Решение.

Эту площадь удобно вычислять, считая у внешней переменной. Тогда границы области задаются уравнениями  и

где  вычисляется с помощью интегрирования по частям:

Следовательно,

2) Объем цилиндроида, то есть тела, ограниченного частью поверхности S: z = f(x,y) , ограниченной контуром L, проекцией D этой поверхности на плоскость Оху и отрезками, параллельными оси Оz и соединяющими каждую точку контура L с соответствующей точкой плоскости Оху:

 (12)

3) Площадь части криволинейной поверхности S, заданной уравнением z = f(x,y), ограниченной контуром L:

 (13)

где D – проекция S на плоскость Оху.

4) Момент инерции относительно начала координат О материальной плоской фигуры D:

  (14)

Определение и свойства криволинейного интеграла I рода

Пусть   – спрямляемая кривая в пространстве   и на кривой  задана функция . 

1. Разобьем кривую  произвольным образом на  частей, не имеющих общих внутренних точек:

,  , …, .

2. На каждой дуге  выберем произвольную точку  и вычислим произведение , где  – длина дуги .

Сумму   назовем интегральной суммой для функции  по кривой  (соответствующей данному разбиению кривой  и данному выбору точек ). Очевидно, что интегральная сумма   зависит от способа разбиения кривой  и выбора точек   и, следовательно, для функции  по кривой  можно записать множество различных интегральных сумм.

Пусть   – наибольшая из длин .