Методы интегрирования

Геометрические и физические приложения кратных интегралов

Пример. Найти момент инерции однородной круглой пластинки (x – a)2 + (y – b)2 < 4b2 относительно начала координат.

Решение.

В силу однородности пластинки положим ее плотность γ(х,у) = 1.

Центр круга расположен в точке C(a, b), а его радиус равен 2b. я Уравнения границ пластинки имеют вид

Вычислим каждый из полученных интегралов отдельно.

Для вычисления интеграла I1 сделаем замену:

  при x = a – 2b  при x = a + 2b

Для вычисления интеграла I2 преобразуем подынтегральную функцию по формуле разности кубов:

Тогда

Следовательно,

Моменты инерции фигуры D относительно осей Ох и Оу:

 (15)

5) Масса плоской фигуры D переменной поверхностной плотности γ = γ (х, у):

 (16)

Число   называется пределом интегральных сумм  при  (обозначают ), если для любого  существует  такое, что для любого разбиения кривой  у которого , при любом выборе точек  выполняется неравенство

 .

Если существует конечный предел интегральных сумм  при , то его называют криволинейным интегралом  I рода (по длине дуги) от функции  по кривой .

Криволинейный интеграл I рода от функции  по кривой  обозначают 

 

( называют подынтегральной функцией,  – областью интегрирования,  – переменные интегрирования,  – дифференциал длины дуги). 

Если существует , то функция  называется интегрируемой по кривой .

Из определения следует, что криволинейный интеграл I рода не зависит от того, в каком направлении пробегается кривая , т.е.

.

Достаточное условие существования криволинейного интеграла I рода будет сформулировано позже, когда покажем способ его вычисления.

Определение криволинейного интеграла I рода по структуре такое же, как и определение определенного интеграла. Поэтому криволинейный интеграл I рода обладает теми же свойствами, что и определенный интеграл. Приведем эти свойства без доказательства.


Поверхностный интеграл первого рода