Методы интегрирования

Геометрические и физические приложения кратных интегралов

Пример. Найти центр тяжести однородной пластины D, ограниченной кривыми у2 = ах и

Решение.

Так как пластина однородна, т.е. ее плотность постоянна, то можно принять ее за единицу.

Тогда   

Найдем массу пластины, а для этого определим абсциссу точки пересечения ограничивающих ее линий:

Соответственно

6) Объем тела V:

  (18)

 Пример 37. .

 Пример 38.

.

6. ,

 ,

  .

 Пример 39. .

Теорема 2. (Дифференцирование несобственн ого интеграла по параме т ру)

Если функция   непрерывна по переменной  для   и имеет непрерывную по обеим переменным производную , интеграл  сходится, а интеграл  сходится равномерно относительно  из , то имеет место соотношение

 (2)

Аналогичная теорема имеет место и для несобственных интегралов от разрывных функций.

Приведённые выше формулы (1) и (2) называют формулами Лейбница. Если справедливы формулы Лейбница, т.е. возможна перестановка операции дифференцирования по параметру  и интегрирования по переменной  (для определённых или несобственных интегралов, то говорят, что функции  и  можно дифференцировать по параметру под знаком интеграла. Интегралы, зависящие от параметра, находят многочисленные приложения. В частности, они используют при вычислении так называемых неберущихся интегралов.


Поверхностный интеграл первого рода