Методы интегрирования http://domprim.ru

Геометрические и физические приложения

Длина кривой.

Если подынтегральная функция f(x, y, z) ≡ 1, то из определения криволинейного интеграла 1-го рода получаем, что в этом случае он равен длине кривой, по которой ведется интегрирование:

   

2) Масса кривой.

Считая, что подынтегральная функция γ (x, y, z) определяет плотность каждой точки кривой, найдем массу кривой по формуле

  (40)

Пример 6.

Найти массу кривой с линейной плотностью  заданной в полярных координатах уравнением ρ = 4φ, где

Решение.

Используем формулу (40) с учетом того, что кривая задана в полярных координатах:

3) Моменты кривой l: 

  - (41)

статические моменты плоской кривой l относительно осей Ох и Оу;

 - (42)

момент инерции пространственной кривой относительно начала координат;

  -  (43)

моменты инерции кривой относительно координатных осей.

4) Координаты центра масс кривой вычисляются по формулам

 .  (44) 

 

5) Работа силы , действующей на точку, движущуюся по кривой (АВ):

  , (45)

 Пример 42.

.

  Пример 43. .

 Если в результате вычислений получили конечное число, то несобственный интеграл называется сходящимся (примеры 42, 43), в противном случае интеграл расходится (пример 41).

 Те интегралы , для которых не выполняется условие (2), а условие (1) выполнено, относятся к несобственным интегралам II-го рода.  имеет бесконечный разрыв в одной или нескольких точках.

 Вычисление несобственных интегралов II-го рода и определение их сходимости или расходимости можно проводить по формуле Ньютона-Лейбница, определив точки бесконечного разрыва.


Поверхностный интеграл первого рода