Теория поля

Пример.

Найти поток векторного поля  через часть плоскости  ограниченную координатными плоскостями (нормаль к плоскости образует острый угол с осью Oz).

Решение.

Проекцией данной поверхности на координатную плоскость Оху является треугольник с вершинами в точках А(0;0), В(0;1), С(½; 0). Найдем координаты единичной нормали к плоскости:

Вычислим соответствующий поверхностный интеграл (формула (56)):

Дивергенцией векторного поля A = {Ax, Ay, Az}, где Ax, Ay, Az – функции от x, y, z, называется

 . (57) 

Условия существования и свойства легко переносятся на случай многократных интегралов. тройной интеграл

Def : Интегральной суммой функции f(x,y,z) в области V называется , где Vi –объем области (Vi), (xi, hi, zi) – произвольная точка данной области.

Пусть l – наибольший из диаметров областей (Vi).

Def : Конечный предел I интегральной суммы s при l®0 называется тройным интегралом функции f(x,y,z) в области V и обозначается .

Физический смысл – масса тела объема (V), если f(x,y,z) считать функцией плотности в точке.

n-кратный интеграл

Def : Для простейшей n-мерной области – n-мерного прямоугольного параллелепипеда [a1,b1;a2,b2;...;an,bn] объемом называется произведение его измерений (a1- b1)( a2- b2)…(an - bn).

Рассматриваются только те тела, для которых n-мерный объем существует (он заведомо существует для тел, ограниченных гладкими или кусочно-гладкими поверхностями). Простейшие n-мерные области: n-мерный симплекс (x1³0,...,xn³0; x1+...+xn£h) и n-мерная сфера (x12+...+xn2£r2).

Def : Аналогично рассмотренным выше случаям строится интегральная сумма функции f(x1,...,xn) в n-мерной области (V), предел которой при стремлении к нулю шага разбиения l будет называться n-кратным интегралом .