Теория поля
Пример.
Найти поток векторного поля
через часть плоскости
ограниченную координатными плоскостями (нормаль к плоскости образует острый угол с осью Oz).
Решение.
Проекцией данной поверхности на координатную плоскость Оху является треугольник с вершинами в точках А(0;0), В(0;1), С(½; 0). Найдем координаты единичной нормали к плоскости:
Вычислим соответствующий поверхностный интеграл (формула (56)):
Дивергенцией векторного поля A = {Ax, Ay, Az}, где Ax, Ay, Az – функции от x, y, z, называется
. (57)
Условия существования и свойства легко переносятся на случай многократных интегралов. тройной интеграл
Def : Интегральной суммой функции f(x,y,z) в области V называется
, где Vi –объем области (Vi), (xi, hi, zi) – произвольная точка данной области.
Пусть l – наибольший из диаметров областей (Vi).
Def : Конечный предел I интегральной суммы s при l®0 называется тройным интегралом функции f(x,y,z) в области V и обозначается
.
Физический смысл – масса тела объема (V), если f(x,y,z) считать функцией плотности в точке.
n-кратный интеграл
Def : Для простейшей n-мерной области – n-мерного прямоугольного параллелепипеда [a1,b1;a2,b2;...;an,bn] объемом называется произведение его измерений (a1- b1)( a2- b2)…(an - bn).
Рассматриваются только те тела, для которых n-мерный объем существует (он заведомо существует для тел, ограниченных гладкими или кусочно-гладкими поверхностями). Простейшие n-мерные области: n-мерный симплекс (x1³0,...,xn³0; x1+...+xn£h) и n-мерная сфера (x12+...+xn2£r2).
Def : Аналогично рассмотренным выше случаям строится интегральная сумма функции f(x1,...,xn) в n-мерной области (V), предел которой при стремлении к нулю шага разбиения l будет называться n-кратным интегралом
.