Теория поля

Пример. Найти дивергенцию и ротор векторного поля  где

Решение.

Найдем координаты вектора а:

Тогда

Векторное поле A = {Ax, Ay, Az} называется потенциальным, если вектор А является градиентом некоторой скалярной функции u = u(x, y, z):

A = grad u = . (58) 

При этом функция и называется потенциалом данного векторного поля.

Поверхностные интегралы первого рода

Def : Пусть в точках некоторой двусторонней гладкой (или кусочно-гладкой) поверхности (S), ограниченной кусочно-гладким контуром, определена функция f(x,y,z). Интегральной суммой функции f(x,y,z) в области S называется , где Si – площадь фигуры (Si).

Пусть l – наибольший из диаметров поверхностей (Si).

Def : Конечный предел I интегральной суммы s при l®0 называется поверхностным интегралом первого типа функции f(x,y,z) в области S и обозначается .

Пусть задана гладкая поверхность S: r=r(u,v)={x=x(u,v), y=y(u,v), z=z(u,v); (u,v)Î }

D – квадрируемая (т.е. поверхность, имеющая площадь) плоская область. E,G и F - коэффициенты первой квадратичной формы поверхности S. , , . Пусть на множестве точек r(u,v) поверхности S задана функция

F( r(u,v))= F( x(u,v), y(u,v), z(u,v)).

Def 1: Поверхностный интеграл первого рода  сводится к обыкновенному двойному следующим образом: .