Методы интегрирования

Пример. Вычислить с помощью тройного интеграла объём тела, ограниченного поверхностями z=0, z=4-y2, x2=2y.

 Решение: Данное тело ограничено сверху цилиндрической поверхностью z=4-y2 с образующими, параллельными оси ОХ, снизу плоскостью z=0 ( координатная плоскость ХОУ ).

 Эти поверхности пересекаются по прямым: у = -2 и у = +2

 Тело U ограничено также цилиндрической поверхностью x2=2y с образующими, параллельными оси OZ

  

 Поверхности, пересекаясь, образуют замкнутое тело, которое проецируется в область Д плоскости ХОУ

    

 Для вычисления объёма воспользуемся формулами. Пределы интегрирования по Х и У расставятся в соответствии с областью Д (как в двухкратном интеграле), а пределами интегрирования по Z будут:

Получим 

Ответ:

4. Двойной интеграл в полярных координатах

Если область интегрирования D - круг или часть круга, то обычно двойной интеграл вычислить легче, если перейти к полярным координатам. Полярный полюс помещается в начало декартовых координат, полярная ось направлена вдоль оси Ох. Формулы перехода к полярным координатам:

Дифференциал площади в полярных координатах равен

ds = rdrdφ

С учётом формул (10), (11) находим:

Двойные интегралы в полярных координатах выражаются через двукратные интегралы вида

Рис 6. - Область интегрирования, не содержащая начало координат

Рис 7. - Область интегрирования, содержащая начало координат

Если область D содержит начало координат (рисунок 7), то


Поверхностный интеграл первого рода