Пример. Зная векторы AB(-3,-2,6) и BC(-2,4,4),вычислите длину высоты AD треугольника ABC.

Решение. Обозначая площадь треугольника ABC через S, получим: S = 1/2 BC AD. Тогда AD=2S/BC, BC=  = = 6,

S = 1/2 çAB ´ACç. AC=AB+BC, значит, вектор AC имеет координаты

AC(-5,2,10). AB´AC =  = i (-20 -12) - j (30 -30) + k (- 6 - 10) =
= -16(2`i +`k ). çAB´ACç =  = 16; S = 8, откуда
AD =   =.

Пример. Даны два вектора a(11,10,2) и b(4,0,3). Найдите единичный вектор c, ортогональный векторам a и b и направленный так, чтобы упорядоченная тройка векторов a, b, c была правой.

Решение. Обозначим координаты вектора c относительно данного правого ортонормированного базиса через x, y, z.

Поскольку c ^ a, c ^ b, то ca = 0, cb = 0. По условию задачи требуется, чтобы c = 1 и a b c >0.

Имеем систему уравнений для нахождения x,y,z: 11x +10y + 2z = 0, 4x+3z=0, x2 + y2 + z2 = 0.

Из первого и второго уравнений системы получим z = -4/3 x, y = -5/6 x. Подставляя y и z в третье уравнение, будем иметь: x2 = 36/125, откуда
x = ± . Используя условие a b c >0, получим неравенство

  > 0 или 5(6x-5y-8z) > 0.

С учетом выражений для z и y перепишем полученное неравенство в виде: 625/6 x > 0, откуда следует, что x>0. Итак, x = , y = -, z =-.

Пример. Определить совместность системы линейных уравнений:

A =

~ .  RgA = 2.

A* =  RgA* = 3.

 Система несовместна.

 Пример. Определить совместность системы линейных уравнений.

 А = ;  = 2 + 12 = 14 ¹ 0; RgA = 2;

A* =

 RgA* = 2.

 Система совместна. Решения: x1 = 1;  x2 =1/2.

Метод Гаусса.

(Карл Фридрих Гаусс (1777-1855) немецкий математик)

 В отличие от матричного метода и метода Крамера, метод Гаусса может быть применен к системам линейных уравнений с произвольным числом уравнений и неизвестных. Суть метода заключается в последовательном исключении неизвестных.

  Рассмотрим систему линейных уравнений:

 Разделим обе части 1–го уравнения на a11 ¹ 0, затем:

1) умножим на а21 и вычтем из второго уравнения

2) умножим на а31 и вычтем из третьего уравнения

  и т.д.

Получим:

, где d1j = a1j/a11, j = 2, 3, …, n+1.

dij = aij – ai1d1j i = 2, 3, … , n; j = 2, 3, … , n+1.

 Далее повторяем эти же действия для второго уравнения системы, потом – для третьего и т.д.