По данному уравнению построим кривую в декартовой системе координат. Из уравнения видно, что кривая симметрична и относительно  и относительно . Биссектрисы координатных углов  и  также являются осями симметрии кривой. Найдём точки пересечения с осями. При  ,  получим две точки пересечения с осью   и .

Аналогично при  получим , . Добавим точки при

Построим кривую

Найдём площадь области Д. Перейдём в систему координат, поместив полярную ось вдоль оси , а полюс в начало координат.

При решении геометрических и физических задач во многих случаях для упрощения вычислений двойной интеграл в прямоугольных координатах преобразуется к полярным координатам. Преобразование двойного интеграла от прямоугольных координат x, y к полярным координатам ρ, φ, связанным с прямоугольными координатами соотношениями

x= ρcosφ, y= ρsinφ, осуществляется по формуле

Если область интегрирования D ограничена двумя лучами, выходящими из полюса,

φ =α, φ =β (α<β) и двумя кривыми ρ= ρ1(φ) и ρ= ρ2(φ), где ρ1(φ)≤ρ2(φ), то что двойно интеграл вычисляется по формуле

, где F(ρ, φ)=f(ρcos φ ,ρsin φ), причем сначала вычисляется интеграл , в котором φ считается постоянным.

 

Преобразуем уравнение кривой к полярным координатам, заменив x= ρcosφ, y= ρsinφ.

Получим

  - уравнение линии в полярных координатах.

В силу симметричности кривой, площадь выразиться так:

По формуле интегрирования запишем двукратный интеграл, при этом пределы интегрирования по φ будут от 0 до , а пределы интегрирования по ρ:

Итак

=

.

7. Криволинейный интеграл первого рода

Пусть на плоскости хОу расположена кривая MN, гладкая (касательная к кривой непрерывно изменяется вдоль кривой) или  кусочно-гладкая (составленная из гладких участков). Функция z =f(х,y) определена и ограничена на кривой MN. Составляется интегральная сумма:

где n - число частичных кривых, на которые разделена кривая MN; (хi;yi) - некоторая точка, взятая на i -ой частичной кривой; Δli- длина i-ой частичной кривой, i=1,2,…n.

Предел интегральной суммы (22) при условии, что все длины Δli →0 (n→∞) называется криволинейным интегралом первого рода от функции f(х, у) по кривой MN и обозначается как

где MN - линия интегрирования; dl - дифференциал длины дуги.

Другое название интеграла (23) - криволинейный интеграл от функции f (х, у) по длине дуги MN.

Кривая MN может быть замкнутой линией L. Для обозначения криволинейного интеграла в этом случае используют символ