Исследовать систему уравнений

Использование систем линейных уравнений при решении экономических задач

Пример. Из некоторого листового материала необходимо выкроить 360 заготовок типа А, 300 заготовок типа Б и 675 заготовок типа В. При этом можно применять три способа раскроя. Количество заготовок, получаемых из каждого листа при каждом способе раскроя, указано в таблице:

Тип

Способ раскроя

заготовки

1

2

3

А

3

2

1

Б

1

6

2

В

4

1

5

Записать в математической форме условия выполнения задания.

Решение. Обозначим через x, y, z количество листов материала, раскраиваемых соответственно первым, вторым и третьим способами. Тогда при первом способе раскроя x листов будет получено 3x заготовок типа А, при втором - 2y, при третьем - z.

Для полного выполнения задания по заготовкам типа А сумма
3x +2y +z должна равняться 360, т.е.

3x +2y + z =360.

Аналогично получаем уравнения

  x + 6y +2z = 300

 4x + y + 5z = 675,

которым должны удовлетворять неизвестные x, y, z для того, чтобы выполнить задание по заготовкам Б и В. Полученная система линейных уравнений и выражает в математической форме условия выполнения всего задания по заготовкам А, Б и В. Решим систему методом исключения неизвестных. Запишем расширенную матрицу системы и приведем ее с помощью элементарных преобразований к треугольному виду.

~ ~ ~
~ ~ ~ .

Следовательно, исходная система равносильна следующей:

  x + 6y +2z = 300,

 2y +9z = 570,

 -67z = - 4020.

Из последнего уравнения находим z = 60; подставляя найденное значение z во второе уравнение, получим y = 15 и, наконец, из первого имеем
x = 90. Итак, вектор C (90, 15, 60) есть решение системы.

Базисный минор матрицы.

Ранг матрицы.

Как было сказано выше , минором матрицы порядка s называется определитель матрицы, образованной из элементов исходной матрицы, находящихся на пересечении каких - либо выбранных s строк и s столбцов

Определение. В матрице порядка m´n минор порядка r называется базисным, если он не равен нулю, а все миноры порядка r+1 и выше равны нулю, или не существуют вовсе, т.е. r совпадает с меньшим из чисел m или n.

Столбцы и строки матрицы, на которых стоит базисный минор, также называются базисными.

 В матрице может быть несколько различных базисных миноров, имеющих одинаковый порядок.

 Определение. Порядок базисного минора матрицы называется рангом матрицы и обозначается Rg А.

  Очень важным свойством элементарных преобразованийматриц является то, что они не изменяют ранг матрицы.

 Определение. Матрицы, полученные в результате элементарного преобразования, называются эквивалентными.

 Надо отметить, что равные матрицы и эвивалентные матрицы - понятия совершенно различные.

  Теорема. Наибольшее число линейно независимых столбцов в матрице равно числу линейно независимых строк.

  Т.к. элементарные преобразования не изменяют ранг матрицы, то можно существенно упростить процесс нахождения ранга матрицы.

 Пример. Определить ранг матрицы.

~ ~ RgA = 2.

 Пример: Определить ранг матрицы.

~ ~ ~ Rg = 2.


Дворцы Палладио и Виченце http://inclas.ru/ Теория поля