Рассмотрим задачу о непрерывном начислении процентов. Первоначальный вклад в банк составил  денежных единиц. Банк выплачивает ежегодно р % годовых. Необходимо найти размер вклада  через  лет.

Пусть вклад будет невостребованным целый год, тогда его прирост , а вся сумма . За второй год прирост , а вся сумма

.

Аналогично

, ..., ,

т.е. при р % годовых размер вклада ежегодно будет увеличиваться в   раз.

Если вклад сняли через полгода и снова положили его на полгода, то прирост за первое полугодие будет , а за второе – . Следовательно, вся сумма за год будет

.

Аналогично, если брать из банка вклад и снова его ложить 3 раза на год, то за год сумма вклада будет следующей:

, ,

а размер вклада за  лет при  начислениях составит

.  (4.30)

Будем предполагать, что проценты по вкладу начисляются непрерывно (). Тогда размер вклада за   лет составит

.(4.31)

Формула (11.24) выражает собой показательный (экспоненциальный) закон роста.

Заменив  на , получим показательный закон убывания:

.  (4.32)

Например, если население страны возрастает на 2 % в год, то по формуле (11.24) можно с неплохим приближением подсчитать численность населения страны через  лет: , где  – численность населения в начале отсчета.

Свойство 4. Каковы бы ни были числа

, , лишь бы только функция  была бы интегрируема на каждом из промежутков   и  (рис 2).

Для доказательства этого свойства достаточно составить интегральные суммы для каждого из трёх интегралов, включив точку  в число точек деления, а затем рассмотреть пределы получившихся интегральных сумм при условии, что .

Свойство 5. (Теорема. Оценка определённого интеграла)

Теорема. Если  непрерывна на промежутке , то имеет место такая оценка определённого интеграла:

,

где -наименьшее, а - наибольшее значения функции  на промежутке .

Доказательство. Очевидно, что функция  имеет на промежутке  наименьшее ) и наибольшее ) значения, т.к.   непрерывна на промежутке , т.е.

.

Составим интегральную сумму для . Ясно, что

.

Учитывая, что  и, вынося постоянный множитель за знак суммы, получим:

Измельчая дробление и устремляя ранг дробления к нулю, в пределе получим

.