Рассмотрим задачу о непрерывном начислении процентов. Первоначальный вклад в банк составил
денежных единиц. Банк выплачивает ежегодно р % годовых. Необходимо найти размер вклада
через
лет.
Пусть вклад будет невостребованным целый год, тогда его прирост
, а вся сумма
. За второй год прирост
, а вся сумма
.
Аналогично
, ...,
,
т.е. при р % годовых размер вклада ежегодно будет увеличиваться в
раз.
Если вклад сняли через полгода и снова положили его на полгода, то прирост за первое полугодие будет
, а за второе –
. Следовательно, вся сумма за год будет
.
Аналогично, если брать из банка вклад и снова его ложить 3
раза на год, то за год сумма вклада будет следующей:
,
,
а размер вклада за
лет при
начислениях составит
. (4.30)
Будем предполагать, что проценты по вкладу начисляются непрерывно (
). Тогда размер вклада за
лет составит
.(4.31)
Формула (11.24) выражает собой показательный (экспоненциальный) закон роста.
Заменив
на
, получим показательный закон убывания:
. (4.32)
Например, если население страны возрастает на 2 % в год, то по формуле (11.24) можно с неплохим приближением подсчитать численность населения страны через
лет:
, где
– численность населения в начале отсчета.
Свойство 4. Каковы бы ни были числа
,
, лишь бы только функция
была бы интегрируема на каждом из промежутков
и
(рис 2).
Для доказательства этого свойства достаточно составить интегральные суммы для каждого из трёх интегралов, включив точку
в число точек деления, а затем рассмотреть пределы получившихся интегральных сумм при условии, что
.
Свойство 5. (Теорема. Оценка определённого интеграла)
Теорема. Если
непрерывна на промежутке
, то имеет место такая оценка определённого интеграла:
,
где
-наименьшее, а
- наибольшее значения функции
на промежутке
.
Доказательство. Очевидно, что функция
имеет на промежутке
наименьшее
) и наибольшее
) значения, т.к.
непрерывна на промежутке
, т.е.
.
Составим интегральную сумму для
. Ясно, что
.
Учитывая, что
и, вынося постоянный множитель за знак суммы, получим:
Измельчая дробление и устремляя ранг дробления к нулю, в пределе получим
.