Пример. Пользуясь определением предела числовой последовательности, доказать, что последовательность xn =(n-1)/n имеет предел, равный 1.

Решение. Нам надо доказать, что, какое бы e>0 мы ни взяли, для него найдется натуральное число N, такое, что для всех n > N имеет место неравенство ½ xn -1 ½<e.

Возьмем любое e >0. Так как ½ xn -1 ½=½(n+1)/n - 1½= 1/n, то для отыскания N достаточно решить неравенство 1/n<e. Отсюда n>1/e и, следовательно, за N можно принять целую часть от 1/e, N = E(1/e). Мы тем самым доказали, что  xn = 1.

Пример . Найти предел последовательности, заданной общим членом xn = .

Решение. Применим теорему о пределе суммы и найдем предел каждого слагаемого. При n ®¥ числитель и знаменатель каждого слагаемого стремится к бесконечности, и мы не можем непосредственно применить теорему о пределе частного. Поэтому сначала преобразуем xn, разделив числитель и знаменатель первого слагаемого на n2, а второго на n. Затем, применяя теорему о пределе частного и о пределе суммы, найдем:

xn = .

Геометрический смысл определённого интеграла

Допустим, что функция  непрерывна и положительна на промежутке . Рассмотрим криволинейную трапецию  (рис 1). Интегральная сумма  даёт нам сумму площадей прямоугольников с основаниями  и высотами . Её можно принять за приближённое значение площади криволинейной трапеции , т.е.

,

причём, это равенство будет тем точнее, чем мельче дробление, и в пределе при  и   мы получим

В этом и заключается геометрический смысл определённого интеграла.