Пример. С помощью дифференциала приближенно вычислить величину   и оценить допущенную погрешность.

 Число   является частным значением функции   при . Пусть , тогда , , , .

Пользуясь формулой (14.48), найдем:

.

Оценим по формулам (14.50) и (14.51) абсолютную и относительную погрешности полученного приближенного значения:

; ;

.

Пример. Найти , если , и вычислить ее значение в точке .

 Дифференцируем по  и определяем :

   .

Дифференцируем последнее равенство по  и определяем :

.

Значение второй производной при , :

.

Приложение определённого интеграла к экономическим задачам

Рассмотрим следующую типовую задачу.

Предприятие выпускает однородную продукцию. Интенсивность её выпуска в различные моменты времени  может быть различной в силу неравномерности поставок сырья и других причин. Интенсивность выпуска продукции обозначим  - это количество выпущенной продукции за единицу времени, начиная с момента  (в предположении, что с этого момента интенсивность постоянна).

Стоимость единицы выпускаемой продукции также не постоянна, а меняется по закону , в силу различной стоимости сырья, стоимости труда, величины налогов и т.д. Требуется найти стоимость выпущенной продукции за промежуток времени . Будем предполагать функции  и  непрерывными.

Пусть   - искомая стоимость. Подсчитаем стоимость   продукции, выпущенной за промежуток времени . Если бы интенсивность  и стоимость   за этот малый промежуток времени не менялись, то . Если же они меняются, то это произведение является лишь главной частью , пропорциональной , что можно записать в виде

.

Здесь   - бесконечно малая высшего порядка, чем   при . Действительно, за бесконечное время  функции   и  изменятся на бесконечно малые величины  и  соответственно, что в произведении с  даст бесконечно малую высшего порядка, чем . Эта бесконечно малая отнесена в .

Итак, слагаемое  есть главная часть , пропорциональная , т.е. по определению - дифференциал функции  - стоимость выпущенной продукции к моменту , начиная с какого-либо фиксированного момента:

.

Тогда, интегрируя дифференциал в пределах  и , находим

.