Пример. С помощью дифференциала приближенно вычислить величину
и оценить допущенную погрешность.
Число
является частным значением функции
при
. Пусть
, тогда
,
,
,
.
Пользуясь формулой (14.48), найдем:
.
Оценим по формулам (14.50) и (14.51) абсолютную и относительную погрешности полученного приближенного значения:
;
;
.
Пример. Найти
, если
, и вычислить ее значение в точке
.
Дифференцируем по
и определяем
:
![]()
![]()
.
Дифференцируем последнее равенство по
и определяем
:
.
Значение второй производной при
,
:
.
Приложение определённого интеграла к экономическим задачам
Рассмотрим следующую типовую задачу.
Предприятие выпускает однородную продукцию. Интенсивность её выпуска в различные моменты времени
может быть различной в силу неравномерности поставок сырья и других причин. Интенсивность выпуска продукции обозначим
- это количество выпущенной продукции за единицу времени, начиная с момента
(в предположении, что с этого момента интенсивность постоянна).
Стоимость единицы выпускаемой продукции также не постоянна, а меняется по закону
, в силу различной стоимости сырья, стоимости труда, величины налогов и т.д. Требуется найти стоимость выпущенной продукции за промежуток времени
. Будем предполагать функции
и
непрерывными.
Пусть
- искомая стоимость. Подсчитаем стоимость
продукции, выпущенной за промежуток времени
. Если бы интенсивность
и стоимость
за этот малый промежуток времени не менялись, то
. Если же они меняются, то это произведение является лишь главной частью
, пропорциональной
, что можно записать в виде
.
Здесь
- бесконечно малая высшего порядка, чем
при
. Действительно, за бесконечное время
функции
и
изменятся на бесконечно малые величины
и
соответственно, что в произведении с
даст бесконечно малую высшего порядка, чем
. Эта бесконечно малая отнесена в
.
Итак, слагаемое
есть главная часть
, пропорциональная
, т.е. по определению - дифференциал функции
- стоимость выпущенной продукции к моменту
, начиная с какого-либо фиксированного момента:
.
Тогда, интегрируя дифференциал в пределах
и
, находим
.