Пример. ○ Функция  есть первообразная для функции  на , поскольку  .

Функция  является первообразной для функции , , так как , .

Функция  является первообразной для функции   на интервале , так как  . ●

Очевидно, что функции ,  и  , где , будут также первообразными для соответствующих функций , поскольку для них выполняется равенство (16.1).

Пример. Для функции  найти первообразную, которая при  принимает значение .

○ В примере 1 было установлено, что . Подставим в это выражение начальные условия , ; получим , откуда . Следовательно, искомая первообразная имеет вид . ●

В гл.17 будет показано, что достаточным условием интегрируемости функции на некотором промежутке является непрерывность функции на этом промежутке. А пока будем считать, что всюду в данной главе осуществляется интегрирование непрерывных функций.

Если функция, для которой мы ищем первообразную, разрывна, то мы будем ее рассматривать только в тех интервалах, где она непрерывна.

3. Подстановка в определённом интеграле.

Теорема. Если функция  непрерывна на промежутке , и в определённом интеграле произвести замену переменной интегрирования при помощи подстановки , причём функция  и её производная  непрерывны на промежутке , причём   и, кроме того, функция  имеет обратную функцию , то

Доказательство. Пусть  - первообразная для функции , т.е. , тогда . Следовательно

,

а т.к. , то ясно что

Замечание 1. Для вычисления определённых интегралов замена переменной может определяться соотношением  или , или  при выполнении необходимых ограничений на функции, задающие замену переменных.

Замечание 2. При вычислении определённых интегралов с помощью подстановки нет необходимости возвращаться к первоначальному аргументу (это с очевидностью следует из доказательства теоремы).