Интегрирование по частям иногда приводится к интегралу, совпадающему с исходным или сводящемуся к нему. В этом случае интеграл находится из решения алгебраического уравнения, в котором неизвестным является искомый интеграл.

Пример. Найти .

Произведем тождественные преобразования, умножив и разделив подынтегральную функцию на .

.

К последнему интегралу применим формулу (6.18)

Подставляя последний результат в полученное ранее выражение данного интеграла, будем иметь

.

Решая это уравнение относительно , окончательно получим

. ● (6.24)

Аналогично находим

.  (6.25)

Пример. Найти .

.

Таким образом, получаем уравнение

,

откуда

.  ● (6.26)

Аналогично находим

. (6.27)

Часто интегрирование по частям приводит к рекуррентной формуле, т.е. формуле, позволяющей последовательно вычислять интегралы, исходя из известного начального интеграла.

Выражение в правой части называется повторным интегралом.

Пусть область D задана в виде . Эта область снизу ограничена прямой , сверху - , слева кривой , справа кривой . Двойной интеграл от функции   по такой области вычисляется по формуле

(2)

 

Для случая, когда область D разбита на две неперекрывающиеся области D1 и D2, справедливо следующее равенство:

(стр3)

(3)