Интегралы вида . Среди интегралов от иррациональных функций такие интегралы имеют наибольшие практическое применение. Рассмотрим несколько способов интегрирования этих функций.

Выделив под знаком радикала полный квадрат в квадратном трехчлене и сделав подстановку , исходный интеграл приводится к интегралу одного их следующих трех типов: 1) ; 2) ; 3) .

Четвертая комбинация знаков  приводит нас к подынтегральной функции, которая не существует в действительной области.

Покажем, что интегралы этих трех видов с помощью соответствующих тригонометрических подстановок приводятся к интегралам вида .

1) Применяя подстановку  , получим  ,

.

.  (6.44)

2) Применяя подстановку  , получим  ,

.

.  (6.45)

3) Применяя подстановку  , получим  ,

.

.  (6.46)

Пример. Найти .

Здесь имеем . Так как  , то в соответствии со случаем 3), делаем подстановку

     , . Таким образом,

   ●.

Примеры

1.  ( Замена в :   ).

2.    ( Замена:  ).

3.  

4.    ( Замена  ).

5.    ( Замена  ).

6.    ( Замена  ).

7.    ( Замена  ).

8. 

9. 

10.   ( Замена  ).

11.   ( Продифференцировать по  функцию 

  ).

12.  

13. . (Универсальная подстановка).

14.   ( Представить  и, поменяв порядок интегрирования, получим  Сделав замену   приведем к виду примера 4.