Дифференциальные уравнения

Задача. Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями.

Задача. Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями.

Цилиндрические координаты:

6. Найти поток вектора  через поверхность параболоида  

 вырезаемую цилиндром ориентированную в соответствии с направлением орта 

7. С помощью формулы Остроградского найти поток вектора  через всю поверхность куба  в направлении внешней нормали.

8. С помощью формулы Стокса найти циркуляцию вектора  по сечению сферы  плоскостью  в положительном направлении относительно орта 

9. Найти  если .

10. Проверить соленоидальность поля 

Дадим теперь определение тройного интеграла.

Рассмотрим некоторое тело , ограниченное простой поверхностью. Можно доказать, что такие тела кубируемы, т.е. имеют объём. И пусть в каждой точке этого тела задана функцию .

Определение 2. Разобьём тело  (рис 10) простыми поверхностями на части  с диаметрами   и объёмами . Наибольший из диаметров  называется рангом дробления .

В каждой частичной ячейке  возьмём произвольную точку  и вычислим в ней значение функции , которое умножим на объём соответствующей ячейки , т.е. составим произведения: .

Просуммируем все такие произведения, т.е. составим интегральную сумму (сумму Римана):

.

Измельчая дробление, будем искать предел последовательности интегральных сумм

если этот предел существует и не зависит от способа дробления и выбора точки , то он называется тройным интегралом от функции  по телу и обозначается так:

Итак, лаконично можно сказать так: тройной интеграл есть предел последовательности интегральных сумм, т.е.

.


Геометрические и физические приложения кратных интегралов