Дифференциальные уравнения

Задачи. Найти объем тела, заданного неравенствами.

Сферическая система координат:

Задача. Тело задано ограничивающими его поверхностями, -плотность. Найти массу тела.

Цилиндрическая система координат:

  Пример. Найти неопределенный интеграл .

Сделаем замену t = sinx, dt = cosxdt.

  Пример.

Замена   Получаем:

 Ниже будут рассмотрены другие примеры применения метода подстановки для различных типов функций.

13.2. Интегрирование по частям.

 Способ основан на известной формуле производной произведения:

(uv) = uv + vu

где u и v – некоторые функции от х.

В дифференциальной форме: d(uv) = udv + vdu

Проинтегрировав, получаем: , а в соответствии с приведенными выше свойствами неопределенного интеграла:

 или ;

  Получили формулу интегрирования по частям, которая позволяет находить интегралы многих элементарных функций.

Моменты плоской фигуры

Из курсов теоретической механики известно, что статическим моментом  материальной точки массы  относительно оси   называется произведение массы этой точки на расстояние до оси , т.е. .

Моментом инерции  материальной точки относительно оси  называется произведение массы  этой точки на квадрат её расстояния от оси , т.е. .

Статическим моментом системы материальных точек относительно оси  называется сумма статических моментов относительно этой оси всех материальных точек, входящих в систему.

Пусть в плоской области  распределена масса с плотностью . Разобьём область   на  частей,   - площадь -й ячейки ( ). В ячейке  возьмём произвольную точку , тогда в силу сделанного выше определения можем считать, что

.

Измельчая дробление, в пределе получим точные значения для статических моментов области о осей   и :

.

Проводя аналогичные рассуждения для моментов инерции области относительно координатных осей, получим

.


Проектные решения систем безопасности АЭС с БН-800 Геометрические и физические приложения кратных интегралов