Задача. Исследовать на сходимость ряд.

Рассмотрим ряд из модулей

При любых значениях n выполняется неравенство .

Рассмотрим ряд

Интегральный признак Коши

Ряд сходится, значит наш знакопеременный ряд обладает абсолютной сходимостью.

Задача. Вычислить сумму ряда с точностью .

Сумма ряда: , где остаток ряда. По условию задачи Для знакопеременных рядов остаток ряда по модулю меньше первого отброшенного члена.

Последнее неравенство выполняется при n=5, значит достаточно оставить первые пять членов ряда

Интеграл дроби вида III может быть представлен в виде:

Здесь в общем виде показано приведение интеграла дроби вида III к двум табличным интегралам.

Рассмотрим применение указанной выше формулы на примерах.

 Пример.

  Вообще говоря, если у трехчлена ax2 + bx + c выражение b2 – 4ac >0, то дробь по определению не является элементарной, однако, тем не менее ее можно интегрировать указанным выше способом.

Вычисление массы поверхности

Пусть в каждой точке поверхности , заданной уравнением  плотность равна , где  - непрерывная функция в каждой точке поверхности , а функция - непрерывна в области  плоскости  и имеет в ней непрерывные частные производные

 и .

Разбивая произвольным образом поверхность  на  частей, заметим, что масса -й ячейки приблизительно равна , где   - площадь -й ячейки, тогда масса всей поверхности : 

.

Справа здесь стоит интегральная сумма для непрерывной функции. Измельчая дробление и устремляя ранг дробления к нулю, в пределе мы получим такую формулу для вычисления массы поверхности :

.

В частности, если поверхность  лежит в плоскости , т.е. совпадает с областью , то .